快速排序

 1.算法描述

快速排序是一种基于分治技术的排序算法。在一个给定的数列中，选择一个数作为分区的依据进行排序，使得数的左边都小于该数，数的右边都大于该数，然后将该数的左边和右边分别作为一个数列进行排序，一直重复以上操作，直到分区里只有一个数字为止。

上面所说的是快速排序的基本特点，可以简单总结为：确定分区依据，左小右大（或左大右小），划分子区间，重复以上操作，直到子区间只有一个数字。

在具体的实现中，快速排序的实现不止一种。比如如何确定分区的依据，如何排序使得分区数字左边所有数字都小于该数字，右边都大于该数字，这可以有很多不同的实现方式。下面讲到的是一种基于两次扫面子数列的方法。

2.实例

使用快速排序将下列数列按升序排序

6     4     1     19     10     5

第一次扫描，选择6作为分区依据，第一次扫描结束后6的左边都小于6，右边都大于6，因此从左边开始扫描时，如果这个数比6小，则继续扫描，直到找到一个数字比6大，左边停止扫描，右边开始扫描，如果这个数字比6大，则继续扫描，直到找到一个数字比6小，右边停止扫描，然后左右扫描停止的位置互换，然后重新开始左右扫描，直到坐标的索引值大于右边的索引值。根据这些分析，我们开始排序。

第一次扫描

设该数列为int number[6],坐标索引为left，右边索引为right

left=1左边开始扫描，4<6继续扫描;left=2, 1<6继续扫描;left=3,19>6,左边扫描停止；

right=5右边开始扫描，5<6右边扫描停止；左右互换数据后数列为：

6     4     1     5     10     19

left<right,扫描继续。left=4左边开始扫描，10>6坐标扫描停止；

right=4右边开始扫描，10>6,扫描继续；right=3，5<6，右边扫描停止；左右互换数据后数列为：

6     4     1     10     5     19

left>right，第一次扫描技术。扫描结束的条件是left>=right，因此当left>right时，最后一次交换回是错误的，因此扫描结束后，应该还原最后一次互换。left和right再次互换，数列如下：

6     4     1    5     10     19

将6和right的值互换，数列如下：

5     4     1     6     10     19

这样第一次扫描才正真的结束，6的左边的数都小于6,6右边的数都大于6

第二次扫描

分别将number[0..right-1]和number[right+1,5]看做两个数列，进行步骤一的操作。

5     4     1              6               10     19

设number[0..right-1]为number_left[0..right-1],left1=1开始左边扫描，4<5,继续扫描；left1=2,1<5,继续扫描，但是number_left只有三个数字，因此左边扫描结束；

right1=2开始右边扫描，1<5,右边扫描结束。互换left1和right1，数列如下：

5     4     1              6                10       19

left1==right1,number_left的扫描结束，left1和right1互换，5和right1互换位置，数列如下：

1     4     5              6                10       19

第三次扫描

分别对number_left[0..right1-1]和number_left[right1+1..right-1]排序，因为right1+1=3，right-1=2，所以number_left[right1+1..right-1]不存在。

设number_left[0..right1-1]为number_left_left[0..right1-1],left11=1左边开始扫描，4>1左边扫描结束；

right11=1右边扫描开始，4>1扫描继续；right11=0,1==1，右边扫描结束；left11和right11互换后数列如下：

4     1                    5                              6                              10       19

left11>right11,number_left_left扫描结束，left11和right11互换，1和right11互换后数列如下：

1     4                    5                              6                               10      19

到这里6之前的排序都结束了，然后再对number_right也使用上面描述的方法进行排序，这里就不在重复描述了。

3.代码

void quick_sort::quick_sort_with_array(int nums[], int begin_index, int end_index){int index = 0;if(begin_index<end_index){index = partition(nums, begin_index, end_index);quick_sort_with_array(nums, begin_index, index-1);    quick_sort_with_array(nums, index+1,end_index);}}int quick_sort::partition(int nums[],int begin_index, int end_index){int left=begin_index;int right = end_index;int number = nums[begin_index];while(left<right){while(nums[left]<=number && left<end_index)  left++;while(nums[right]>=number && right>0) right--;swap(nums[left],nums[right]);}swap(nums[left],nums[right]);swap(nums[begin_index], nums[right]);return right;}void quick_sort::swap(int& a, int& b){int temp = a;a        = b;b        = temp;}

4.算法分析

在快速排序中，比较和位置替换依然是主要操作。先来看一下比较操作。从上面的代码中我们可以看出，程序采用从左右两端扫描数列的方式，每次扫描结束后，一个数字就会被放到合适的位置，及排除出待排序序列，直到最后所有子数字的个数都是1.

设对一个长度为n的数列进行升序排序，如果给定的已经是一个按升序(或降序)排序的数列，这种情况下比较的次数最多，比较次数为：

                                                             C(n)=(n+1)+n+(n-1)+...+3=(n+1)*(n+2)/2-3

上面讨论的是最坏情况，如果排序的时候，分裂点都是中心位置，则为最优情况，比较次数为：

                                                              C(n)=2*C(n/2)+n         (n>1,C(1)=0,C(2)=2)

设n=2^k,根据上面的公式可推算出：

在平时使用时，上面讨论的两种情况是不经常遇到的，下面我们来讨论一下快速排序在平均情况下的效率：

设有一个长度为n的数列，快速排序的平均键值比较次数为 Cavg(n),假设分区的分裂点s(0<= s<=n-1)位于每个位置的概率是1/n,可以得出下面的公式：

                                         

根据公式推算得：

因为1/(n+1）+1/n+1/(n-1)+...1/2为发散序列，无法算出精确值，只能是大约值，网上找到的是约等于lnn，但证明过程没有找到，证明就暂时到这里，以后再做修改吧。因此快排的平均复杂度为

                                                                

从上面的计算结果可以看出，快排在平均情况仅比最优情况多执行了38%的操作。