bzoj 1597 [Usaco2008 Mar]土地购…

来源：互联网发布：移动进销存软件编辑：程序博客网时间：2024/05/20 22:01

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <=50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <=1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000).每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换.如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费.他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N * 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组
的价格分别为100,100,300, 总共500.

这题很早做的，想再推下斜率优化的题。结果果然爆掉了。。。

以前一开始连DP的思路都没有。。更别提优化了。。

//================================================================================================

对于读入的随机数据想看出DP的方法是很难的。但是考虑要用到的是某些块里面最大的和最小的值，考虑排序。

先用一个关键字排序。长和宽没有本质区别。

可以发现，对于两个矩形，如果第一个矩形的长和宽都不大于第二个，那么买第二个的时候就可以顺带买掉第一块，因为这个时候第一块是没有任何代价的（我这里称之为第一块被第二块包含）。

那么去掉了所有“被包含”的矩形后，经过排序的长宽序列会有个很有用的性质：长度序列不降的同时宽度序列不增（反之亦同）。

那么动归的阶段性就很明显了：购买前i块的消费。

转移方程为：f[i]=min(f[j]+a[j+1]*b[i]) (0<=j<i) //其中a[i]表示第i块的宽，b为长。

这里定义a数组经过排序后是单调不升的，b数组相反。这个和下面程序的表达不同。。。注意注意！！

为了操作方便，可以在事先把a数组整体前移一位。则方程可以表示为：

f[i]=min(f[j]+a[j]*b[i])

列出了转移方程是不是就解决了？如果每次遍历0~i-1必然超时、、

考虑两个决策f[j],f[k]并假设j<k。

如果对于f[i]，从f[j]转移来比从f[k]转移来更优，那么有：

f[j]+a[j]*b[i]<f[k]+a[k]*b[i]

移项得：

b[i]<(f[k]-f[j])/(a[j]-a[k])

为方便表示，定义d(j,k)=(f[k]-f[j])/(a[k]-a[j])

这个式子有什么用呢？

考虑：b[i]为不降的序列。所以当存在i,j,k三个决策时，并且满足i<j<k。如果d(i,k)>d(j,k)那么j决策就是无用的决策。因为如果i决策都不如k优了，那么就是说d(i,k)<b[now]，那么d(j,k)肯定也小于b[now]。也就是说决策i比决策j的生命力更强、

那么，就可以开一个单调队列，存可能转移的决策，并使得d值递增。

额。。。就讲这么多了。。。剩下的自己YY吧。。

程序里面维护队列就两句话，而且为了省变量，判断句又臭又长。。。

注意：

1.在更新当前决策的时候，往后推队列的头指针，使得队列头两个的d值满足b[i]的约束。

2.在更新完当前决策后都要入队，入队的时候为了保持d值的单调性要往前推尾指针。

3.推尾指针的时候队尾两个分别与当前决策点求出d值，比较大小（一开始变成求d（尾两个）和d（尾，当前）了。。于是就WA掉了）。

4.搞清楚大小关系！！！！！

ACCODE

program bzoj_1597;
var a,b,f:array[0..50000] of int64;
   q:array[1..50000] of longint;
   i,n,tail,l,r:longint;
//============================================================================
procedure qsort(l,r:longint);
var i,j:longint;
   k1,k2,tt:int64;
begin
k1:=a[(l+r) shr 1]; k2:=b[(l+r) shr 1]; i:=l;j:=r;
repeat
    while(a[i]<k1) or ((a[i]=k1) and(b[i]>k2)) do inc(i);
    while(a[j]>k1) or ((a[j]=k1) and(b[j]<k2)) do dec(j);
    ifi<=j then
    begin
     tt:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=tt;
     tt:=b[i]; b[i]:=b[j]; b[j]:=tt;
     inc(i); dec(j);
    end;
until i>j;
if j>l then qsort(l,j);
if i<r then qsort(i,r);
end;
//============================================================================
begin
readln(n);
for i:=1 to n do readln(a[i],b[i]);
qsort(1,n); tail:=1;
for i:=2 to ndo   //去掉被包含的矩形。
begin
    while(tail>0) and (b[i]>=b[tail]) dodec(tail);
   inc(tail);
   a[tail]:=a[i]; b[tail]:=b[i];
end; n:=tail;
for i:=0 to n-1 do b[i]:=b[i+1];
l:=1; r:=1; q[1]:=0; f[0]:=0;
for i:=1 to n do
begin
    while(l<r) and(a[i]*(b[q[l]]-b[q[l+1]])>f[q[l+1]]-f[q[l]]) doinc(l); //推头指针。
   f[i]:=f[q[l]]+b[q[l]]*a[i];
    while(l<r) and
     ((f[i]-f[q[r-1]])*(b[q[r]]-b[i])>=(f[i]-f[q[r]])*(b[q[r-1]]-b[i]))do //推尾指针。
       dec(r);
    inc(r);q[r]:=i;
end; writeln(f[n]);
end.

0 0