BZOJ 1597: [Usaco2008 Mar]土地购买【斜率优化】

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

题解

首先，我们可以发现，如果一个矩阵的长和宽都小于等于令一个矩阵的长和宽，那么这个矩阵就被废掉了。这样处理掉有什么好处呢？显然，如果按照长度从小到大排序，那么宽度一定是递减的，这样，我们每次购买的就一定是一个区间，就可以方便的写出DP的转移方程。f[i]=min(f[i],f[j]+a[j+1].y*a[i].x)，然后裸写DP肯定是不可以的，所以就用斜率优化搞一下。

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 50006#define LL long longusing namespace std;inline char nc(){    static char buf[100000],*i=buf,*j=buf;    return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++;}inline int _read(){    char ch=nc();int sum=0;    while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc();    while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc();    return sum;}struct point{    LL x,y;    LL operator *(const point&b)const{return x*b.y-y*b.x;}    point operator -(const point&b)const{point c;c.x=x-b.x;c.y=y-b.y;return c;}}que[maxn];struct data{    int x,y;    bool operator <(const data&b)const{return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);}}a[maxn],b[maxn];int n,m,a0;LL f[maxn];bool vis[maxn];LL cross(point x,point y,point z){    return (z-y)*(y-x);}int main(){    freopen("acquire.in","r",stdin);    freopen("acquire.out","w",stdout);    n=_read();    for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x=_read(),a[i].y=_read();    int Max=0;    sort(a+1,a+1+n);    for(int i=n;i>=1;i--) if(a[i].y>Max)vis[i]=1,Max=a[i].y;    for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i])b[++m]=a[i];    int i=1;    while(i<=m){        int j=i;        while(j<=m&&b[j].y<=b[j+1].y)j++;        a[++a0].x=b[j].x;a[a0].y=b[j].y;i=j+1;    }    int hed=1,tal=1;que[1].y=0;que[1].x=-a[1].y;    for(int i=1;i<=a0;i++){        point x;x.x=1;x.y=a[i].x;        while(hed<tal&&((que[hed+1]-que[hed])*x>=0))hed++;        f[i]=que[hed].y-a[i].x*que[hed].x;x.x=-a[i+1].y;x.y=f[i];        while(hed<tal&&(cross(que[tal-1],que[tal],x)>=0))tal--;        que[++tal]=x;    }    printf("%lld",f[a0]);    return 0;}