关于串的循环移动与最小覆盖几个问题

以下对于串的加法即连接操作，数乘n表示复制n次，|S|表示串S长度，先yy几个名词

分子串：如果串S = k×S'(其中k>=1)，则称S'为S的一个分子串。

原子串：所有S'中长度最小的称为S的原子串，记为S*。

覆盖串：如果串|S''| <= |S|，且有S为k×S''(其中k>=1)的前缀，则称S''为S的一个覆盖串。

最小覆盖串：所有S''中长度最小的称为S的最小覆盖串，记为S^。

例1：S=“abcabcabcabc”，其中一个S’=“abcabc”，S*=“abc”，其中一个S''=“abcabc”，S^=“abc”。

例2：S=“abcabcab”，只有一个S'=“abcabcab”，S*=“abcabcab”，其中一个S''=“abcabc”，S^=“abc”。

结论1. 一个串能够循环移动m位的到自身，令g=gcd(|S|，m)，则S[0...g-1]为S的一个分子串，也即S可划分为k(其中k=|S|/g)个完全相同串。

证明：将串S想象成一个|S|个节点的环，其中位置固定的，例如S="abcabc"可表示为图1，对S循环右移2位得到“bcabca”图2，这实际上相当于将每个节点中的字符按图示箭头移动图3。

   

如果串S循环移动后得到自身，实际上说明了有边相连的节点的字符相同,如将“abc”循环右移3位图4。

为了观察到规律，我们假设一长度为9的串循环右移6位后得到自身，现仅考虑位置0,6,3的移动情况图5，首先可以

得出位置0与位置6字符相同，之后可以的出位置6与位置3字符相同，最后是位置3与位置0。想到什么了吗？

从0到6：(0+6) mod 9，从6到3：(6+6) mod 9，从3到0：(3+6) mod 9，之后一直循环。

同理可以得到位置1,7,4字符相同，位置2,8,5字符相同，即其可划分为3个长度为3的完全相同的串图6，颜色相同表示字符相同。

考虑一般情况，长度为n的串循环移动m位的到自身，则可已得到位置(0+k×m) mod n与位置0字符相同，位置(1+k×m) mod n与位置1字符相同，...，令g=gcd(n，m)，由公约数定理可知

位置0，g，...，n-g上字符相同

位置1，g+1，...，n-g+1上字符相同

...

位置g-1，g-1+g，...，n-g+g-1等于n-1上字符相同。

从而S可划分为n/g个长度为g的完全相同的字符，结论得证。

结论 2. 若串S存在原子串S*≠S，则有串S的最小覆盖串S^=S*。

证明：首先易知S*可以覆盖S。

假设S*≠S^，有三种情况，|S*|<|S^|，|S*|=|S^|，|S*|>|S^|。

|S*|<|S^|时，由于S*可以覆盖S，这与S^定义相矛盾。

|S*|=|S^|时，易知与假设相矛盾。

|S*|>|S^|时，先考虑一个具体例子，设|S|=18，|S*|=6，|S^|=4。

由S与S*的关系我们可以得到(未全列出)S[0]=S[6]，S[1]=S[7]，S[2]=S[8]，S[3]=S[9]，S[4]=S[10]，S[5]=S[11]。

由S与S^的关系我们得到(未全列出)S[0]=S[4]，S[1]=S[5]，S[2]=S[6]，S[3]=S[7]，S[4]=S[8]，S[5]=S[9]，S[6]=S[10]，S[7]=S[11]。

现在我们只考虑与S[0]相同的字符(仅考虑前6×2个位置)，可以得出以下推导过程：S[0]=S[4]=S[8]=S[2]=S[6]=S[0]

实际上是：(0+4) mod 6 = 4，(4+4) mod 6 = 2，(2+4) mod 6 = 0。

同理得到S[1]=S[3]=S[5]，这样就把S*分成了完全相同的3的串S*' = S[0，1]，易证S*'为S的原子串，这与S*为原子串相矛盾。

考虑一般情况，设|S|=L，|S*|=m<L，|S^|=n<m。

设g=gcd(m，n)，有上面的分析及公约数定理我们可以得到：

S[0]=S[(0+n) mod m]=S[(0+2×n) mod m] = ... = S[g]

S[1]=S[(1+n) mod m]=...=S[g+1]

...

S[g-1]=S[(g-1+n) mod m] = ...=S[2×g-1]

这样，容易证明S[0,...,g-1]为S的原子串，且g<m，这与假设相矛盾，固有S*=S^。

以上俩个结论的证明都用到了公约数理论，非常类似，故将它们放到一起。

推论 1.由结论1与结论2我们可以得到所有的分子串S'=k×S*。

结论 3.设next[0,...,L](注意不是nextval)为S[0,...,L](注意实际上字符串为S[0,...,L-1]，其中S[L]='\0')经KMP预处理得到数组，则有S[0,...,L-next[L]-1]为S的最小覆盖串。

首先由next函数定义易知S[0,...,L-next[L]-1]可以覆盖S，所以只需证其是长度最小的覆盖串。

设m=L-next[L]，假设存在n<m使得S[0,...,n-1]为S的覆盖串，则容易得到S[0,...,L-n-1]=S[n,...,L-1]，

由n<m可知L-n>L-m，故next[L]应为L-n，这与假设相矛盾，故原结论成立。

推论 2.由结论2和结论3可以的到如果|S| mod (|S|-next[|S|]) ≠ 0，则S不存在非平凡分子串(原子串)。