Leetcode---Unique Binary Search Trees II

Given n, generate all structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n.

For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST's shown below.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

首先可以联想到卡特兰数。当我们从1到n选择根节点时，有不同的树可以生成，可以推出如下结构：

对于n个节点，可以生成的二叉排序树的个数为f(n)，则f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0)

设m=n-1, 公式就是f(m+1)=西格玛 f(i)*f(m-i), i从0到m, m>=0, 为了使公式成立，需要f(0)=1

所以这是典型的卡特兰数，可以利用这一点方便的求得所能生成的BST的个数。

其实从1到n的数生成的BST的个数和n个节点生成的二叉树的个数是完全一样的，都是卡特兰数。直观上可以这么理解：n个节点生成的每种二叉树，都可以把1到n的数字填进去，所以是一一对应的。

原问题是求所有生成的BST，那可以利用递归求解，关键是如何在递归函数中传递数据。一个方法是利用vector作为返回值，程序如下，也很短：

1. class Solution {
   
2. public:
   
3.     vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
   
4.         return f(1,n);
   
5.     }
   
6.     vector<TreeNode *> f(int start, int end){
   
7.         vector<TreeNode *> result;
   
8.         if(start>end){
   
9.             result.push_back(NULL);
   
10.             return result;
    
11.         }
    
12.         for(int k=start;k<=end;k++){
    
13.             vector<TreeNode *> left=f(start,k-1);
    
14.             vector<TreeNode *> right=f(k+1,end);
    
15.             for(int i=0;i<left.size();i++){
    
16.                 for(int j=0;j<right.size();j++){
    
17.                     TreeNode * root=new TreeNode(k);
    
18.                     root->left=left[i];
    
19.                     root->right=right[j];
    
20.                     result.push_back(root);
    
21.                 }
    
22.             }
    
23.         }
    
24.         return result;
    
25.     }
    
26. };