斯坦福大学公开课 ：机器学习课程（Andrew Ng）——5、监督学习：Support Vector Machine，引

1）简单说明

2）再说logistic回归

3）支持向量机的假设表示

4）函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin）

    4.1）函数间隔

    4.2）几何间隔

5）最优间隔分类器（optimal margin classifier）

6）简单总结

1）简单说明

    支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。Andrew Ng老师从前几节讲的logistic回归出发，引出了SVM，既揭示了模型间的联系，也让人觉得过渡更自然。

2）再说logistic回归

Logistic回归模型是将特性的线性组合作为自变量（该自变量的取值范围是负无穷到正无穷），并利用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。

假设函数为：，其中，logistic函数为：

而假设函数就是特征属于y=1的概率：。

当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求，若就是y=1的类，反之属于y=0类。对应到g(z)，我们发现g(z)只不过是用来映射，真实的类别决定权还在。还有当时，=1，反之=0。Logistic回归就是要学习得到，使训练数据中y=1的特征，而是y=0的特征，但是强调在全部训练实例上达到这个目标。

图形化表示如下：

中间那条线是，logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线，学习出的结果也就中间那条线。

从图中我们可以确定A是×类别的，然而C我们是不太确定的，B还算能够确定；这间接地告诉我们：我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优。考虑针对所有点的最优解（即学习到的分割线）会使一部分点（这些点往往更类似于C的位置）靠近中间线来换取另外一部分点（这些点往往更类似于A的位置）更加远离中间线，但就像刚才说的，我们实际不关心A离分割线有多远，而更关心C离分界线有多远，这样一想就知道logistic回归考虑针对所有点的最优解（即学习到的分割线）其实还是有一点点缺点的，这就是支持向量机要弥补的地方！即，支持向量机考虑局部最优解（只关心离分割线最近的某些点，不关心已经有明确分类的远离分割线的点），logistic回归考虑全局最优解（通过调整中间线，往往会使已经远离的点使其更加远离，造成“虚假最优”，但没考虑到调整中间线会使很多分类不明确的靠近点更加靠近）。这是我的个人直观理解。

3）支持向量机的假设表示

    a）结果标签由logistic回归中的y=0，y=1改为y=-1，y=1。

    b）同时将替换成w和b。以前的，其中认为。现在我们替换为b，替换为（即）。即，。

    所以，新的假设函数为：。也就是说除了a）b）中提到的标记不同外，与logistic回归没有任何区别。将假设函数表示为w和b的函数即：

    上一节提到只需考虑的正负问题，而不用关心g(z)的具体形式，因此我们在这里将做一个简化，从原来将自变量z映射到(0,1)上改为直接映射到y=-1和y=1上。即，映射关系如下（此时的类别决定权仍然是在z，即，而不是g(z)函数）：

4）函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin）

4.1）函数间隔

定义针对某一个样本的函数间隔如下： 。

可想而知，当时，根据上节g(z)的定义，，的值实际上就是。反之亦然。为了使函数间隔最大（更大的信心确定该例是正例还是反例），当时，应该是个大正数，反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。

但是，如果同时加大w和b，比如在前面乘个系数2，那么所有点的函数间隔都会增大二倍，然而我们要求的解（即直线）并没有因为函数间隔的增大增强分类效果，而是毫无变化。这就要求我们通过归一化条件防止函数间隔的这种“虚假增大”，因为我们的目标是确定唯一一个w和b，而不是多组线性相关的向量。

我们同时定义针对全局样本的函数间隔如下：。

4.2）几何间隔

先看图

假设我们有了B点所在的分割面。任何其他一点，比如A到该面的距离以表示，假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是（分割面的梯度），单位向量是。A点是，所以B点是x=（利用初中的几何知识），带入B点所在的分割面得：

化简得：再换种更加优雅的写法：。

当时，就是函数间隔！也就是说，前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔：。

他们为什么会一样呢？因为函数间隔是我们定义（认为规定）的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。几何间隔的好处是：只要w和b不同时扩大或缩小某个因子，几何间隔能够完成像函数间隔那样的调整分界线的功能；若w和b同时扩大或缩小某个因子，几何间隔也不会出现像函数间隔那样的“虚假增大”（因为w扩大几倍，跟着扩大几倍，结果无影响），这就解决了函数间隔的问题！

我们同时定义针对全局样本的几何间隔如下：

5）最优间隔分类器（optimal margin classifier）

    我们的目标是寻找一个超平面，使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面，我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。由上一节我们知道，几何间隔比函数间隔更实用，所以我们希望用几何间隔gama来表示我们的目标，即最大化gama：

，这里用=1规约w，正是为了让是几何间隔。

由于不是凸函数，求解w和b会比较困难，我们想先处理转化一下，考虑几何间隔和函数间隔的关系，，我们改写一下上面的式子为：

，这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔，只不过此时的w不受的约束了。

然而这个时候目标函数仍然不是凸函数，我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响，但我们最后要求的仍然是w和b的确定值，不是他们的一组倍数值，因此，我们需要对做一些限制，以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取，即将全局的函数间隔定义为1，也就是将离超平面最近的点的距离定义为（根据上式中的“>=号”想一想为什么是最近的点！）。由于求的最大值相当于求的最小值，因此改写后结果为：

，这下只有线性约束了，而且是个典型的二次规划问题（目标函数是自变量的二次函数），很易求解。

6）简单总结

到这里发现，这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图，画好分类超平面，在图上标示出间隔那么直观，但每一步推导有理有据，依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。

到此，我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b，那么来一个特征x，我们就能够分类了，称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。

参考：http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html