斯坦福大学公开课 ：机器学习课程（Andrew Ng）——14、无监督学习：Independent Component Analysis（ICA）

1）问题描述

2）独立成分分析的不确定性（ICA ambiguities）

3）ICA用到的密度函数计算公式

4）ICA算法

5）行列式求导

1）问题描述

    1、上节提到的PCA是一种数据降维的方法，但是只对符合高斯分布的样本点比较有效，那么对于其他分布的样本，有没有主元分解的方法呢？

    2、经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

    将第二个问题细化一下，有n个信号源，，每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么，x即声音接收器的收到的复合信号，这里的x不是一个向量，是一个矩阵，其中每个列向量是，满足。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。

     令，那么。将W表示成

    

     其中，其实就是将写成行向量形式。那么得到： 。

2）独立成分分析的不确定性（ICA ambiguities）

   a）倍数联动：由于w和s都不确定，在没有任何先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。因为对于公式s=wx，当w扩大两倍时，s只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的s。

    b）旋转对称：如果信号源s是多元高斯分布，那么ICA也不适用！直观的理解是，多元高斯分布的概率密度图是旋转对称的（均值为0，投影面是圆形的山峰状，参见多元高斯分布）；数学理解是，假设只有两个人，且发出的声音信号符合多元正态分布，即，其中I是2*2的单位矩阵，

        因为，因此，x也是多元高斯分布的，均值为0，协方差为；令R是正交阵，且（即通过A旋转得到），如果将A替换成A’，那么，由于s分布没变，因此x’仍然是均值为0，协方差为。

       也就是说，不管混合矩阵是A还是A'，我们观察到的数据x都是符合相同的分布N(0,)，也就是说根据观察到的数据的分布情况，我们根本没办法确定混合矩阵是A还是A'，也就不知道信号源的具体情况。

实际上，倍数联动对于大多数应用是没有太大影响的，你还是会分辨出独立的声音源，只不过是进行了放缩；但如果声音源s符合多元高斯分布，那我们就真没办法达到辨别独立成分的目的，也就是说，我们其实只要保证声音源不是多元高斯分布，并且假如归一化限制（不允许任意放缩），在理论上就应该可以进行盲信号分离（独立成分）分析。

3）ICA用到的密度函数计算公式

    在讨论ICA具体算法之前，我们先来回顾一下概率和线性代数里的知识。

    假设我们的随机变量s有概率密度函数（连续值是概率密度函数，离散值是概率）。为了简单，我们再假设s是实数，还有一个随机变量x=As，A和x也都是实数，那么怎么求x的概率密度？

     令，首先将式子x=As变换成，则：。

     推导方法如下：

    

    

     更一般地，如果s是向量，A可逆的方阵，那么上式子仍然成立。

4）ICA算法

    这里，我们通过最大似然估计来推导ICA算法。

    我们假定每个有概率密度，并且每个人发出的声音信号各自独立，那么给定时刻原信号的联合分布就是：

     。有了p(s)，根据上一小节的公式，我们可以求得p(x)：

     ，左边是每个采样信号x（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。

    要想求x的概率密度函数，我们剩下要做的就是为每一个人为指定概率密度（前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s，因此，这里我们必须根据先验知识人为指定）。从第2）节的分析中我们知道，高斯分布的密度函数是不可以用的。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增并且函数值在[0,1]之间。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。因此，s的累积分布函数一般默认（在没有任何先验知识时）选择sigmoid函数：

     ，求导后得，这就是s的概率密度函数。这里s是实数。

   知道了，x的概率密度公式中就只剩下W了。对于W的计算，我们采用最大似然估计法，给定采样后的训练样本，样本对数似然估计如下：

     。

   接下来就是对W求导了，这里牵涉一个问题是对行列式|W|进行求导的方法，属于矩阵微积分。这里先给出结果，在文章最后再给出推导公式。

    

     最终得到的求导后公式如下，的导数为（可以自己验证）：

    

     其中是梯度上升速率，人为指定。

     当迭代求出W后，便可得到来还原出原始信号。

     注意：我们计算最大似然估计时，假设了与之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。

5）行列式求导

     对行列式求导，设矩阵A是n×n的，我们知道行列式与代数余子式有关，

    

     是去掉第i行第j列后的余子式，那么对求导得

    

     adj(A)跟我们线性代数中学的是一个意思，因此