排序算法思想解析

一、最快的排序算法：希尔排序算法
希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。因D．L．Shell于1959年提出而得名。

希尔排序基本思想

基本思想：
    先取一个小于n的整数d₁作为第一个增量，把文件的全部记录分成d₁个组。所有距离为d_l的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插人排序；然后，取第二个增量d₂<d₁重复上述的分组和排序，直至所取的增量d_t=1(d_t<d_t-l<…<d₂<d₁)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。
    　该方法实质上是一种分组插入方法。

给定实例的shell排序的排序过程

    　假设待排序文件有10个记录，其关键字分别是：
        49，38，65，97，76，13，27，49，55，04。
    　增量序列的取值依次为：
        5，3，1
    　排序过程如【动画模拟演示】。

Shell排序的算法实现

1． 不设监视哨的算法描述
void ShellPass(SeqList R，int d)
   {//希尔排序中的一趟排序，d为当前增量
     for(i=d+1;i<=n；i++) //将R[d+1．．n]分别插入各组当前的有序区
       if(R[i].key<R[i-d].key){
         R[0]=R[i];j=i-d； //R[0]只是暂存单元，不是哨兵
         do {//查找R[i]的插入位置
            R[j+d]；=R[j]； //后移记录
            j=j-d； //查找前一记录
         }while(j>0&&R[0].key<R[j].key)；
         R[j+d]=R[0]； //插入R[i]到正确的位置上
       } //endif
   } //ShellPass

void ShellSort(SeqList R)
   {
    int increment=n； //增量初值，不妨设n>0
    do {
          increment=increment/3+1； //求下一增量
          ShellPass(R，increment)； //一趟增量为increment的Shell插入排序
       }while(increment>1)
    } //ShellSort
注意：
    当增量d=1时，ShellPass和InsertSort基本一致，只是由于没有哨兵而在内循环中增加了一个循环判定条件"j>0"，以防下标越界。

2．设监视哨的shell排序算法
    　具体算法【参考书目[12] 】

算法分析

1．增量序列的选择
    　Shell排序的执行时间依赖于增量序列。
    　好的增量序列的共同特征：
① 最后一个增量必须为1；
② 应该尽量避免序列中的值(尤其是相邻的值)互为倍数的情况。
    　有人通过大量的实验，给出了目前较好的结果：当n较大时，比较和移动的次数约在n^l.25到1.6n^1.25之间。

2．Shell排序的时间性能优于直接插入排序
    　希尔排序的时间性能优于直接插入排序的原因：
①当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。
②当n值较小时，n和n²的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0(n²)差别不大。
③在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量d_i逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按d_i-1作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。
    　因此，希尔排序在效率上较直接插人排序有较大的改进。

3．稳定性
    　希尔排序是不稳定的。参见上述实例，该例中两个相同关键字49在排序前后的相对次序发生了变化。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
以上转 自：http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/paixu/paixu8.2.2.1.htm
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

二、快速排序算法：

快速排序

分而治之方法还可以用于实现另一种完全不同的排序方法，这种排序法称为快速排序（quick sort）。在这种方法 中， n 个元素被分成三段（组）：左段l e f t，右段r i g h t和中段m i d d l e。中段仅包含一个元素。左段中各元素都小于 等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。因此l e f t和r i g h t中的元素可以独立排序，并且不必对l e f t和 r i g h t的排序结果进行合并。m i d d l e中的元素被称为支点( p i v o t )。图1 4 - 9中给出了快速排序的伪代 码。


/ /使用快速排序方法对a[ 0 :n- 1 ]排序

从a[ 0 :n- 1 ]中选择一个元素作为m i d d l e，该元素为支点

把余下的元素分割为两段left 和r i g h t，使得l e f t中的元素都小于等于支点，而right 中的元素都大于等于支点

递归地使用快速排序方法对left 进行排序

递归地使用快速排序方法对right 进行排序

所得结果为l e f t + m i d d l e + r i g h t

图14-9 快速排序的伪代码


考 察元素序列[ 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 ]。假设选择元素6作为支点，则6位于m i d d l e；4，3， 1，5，2位于l e f t；8，7位于r i g h t。当left 排好序后，所得结果为1，2，3，4，5；当r i g h t排好序后，所 得结果为7，8。把right 中的元素放在支点元素之后， l e f t中的元素放在支点元素之前，即可得到最终的结果[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ]。

把元素序列划分为l e f t、m i d d l e和r i g h t可以就地进行（见程序1 4 - 6）。在程序1 4 - 6中，支点总是取位置1中的元素。也可以采用其他选择方式来提高排序性能，本章稍后部分将给出这样一种选择。

程序14-6 快速排序

template

void QuickSort(T*a, int n)

{// 对a[0:n-1] 进行快速排序

{// 要求a[n] 必需有最大关键值

quickSort(a, 0, n-1);

template

void quickSort(T a[], int l, int r)

{// 排序a [ l : r ]， a[r+1] 有大值

if (l >= r) return;

int i = l, // 从左至右的游标

j = r + 1; // 从右到左的游标

T pivot = a[l];

// 把左侧>= pivot的元素与右侧<= pivot 的元素进行交换

while (true) {

do {// 在左侧寻找>= pivot 的元素

i = i + 1;

} while (a[i] < pivot);

do {// 在右侧寻找<= pivot 的元素

j = j - 1;

} while (a[j] > pivot);

if (i >= j) break; // 未发现交换对象

Swap(a[i], a[j]);

}

// 设置p i v o t

a[l] = a[j];

a[j] = pivot;

quickSort(a, l, j-1); // 对左段排序

quickSort(a, j+1, r); // 对右段排序

}

若 把程序1 4 - 6中d o - w h i l e条件内的<号和>号分别修改为< =和> =，程序1 4 - 6仍然正 确。实验结果表明使用程序1 4 - 6的快速排序代码可以得到比较好的平均性能。为了消除程序中的递归，必须引入堆栈。不过，消除最后一个递归调用不须 使用堆栈。消除递归调用的工作留作练习（练习1 3）。程序1 4 - 6所需要的递归栈空间为O (n)。若使用堆栈来模拟递归，则可以把这个空间减少 为O ( l o gn)。在模拟过程中，首先对left 和right 中较小者进行排序，把较大者的边界放入堆栈中。在最坏情况下l e f t总是 为空，快速排序所需的计算时间为(n2 )。在最好情况下， l e f t和r i g h t中的元素数目大

致相同，快速排序的复杂性为(nl o gn)。令人吃惊的是，快速排序的平均复杂性也是(nl o gn)。

定理2-1 快速排序的平均复杂性为(nl o gn)。

证 明用t (n) 代表对含有n 个元素的数组进行排序的平均时间。当n≤1时，t (n)≤d，d为某一常数。当n <1时，用s 表示左段所含元 素的个数。由于在中段中有一个支点元素，因此右段中元素的个数为n-s- 1。所以左段和右段的平均排序时间分别为t (s), t (n-s- 1 )。分割数组中元素所需要的时间用cn 表示，其中c 是一个常数。因为s 有同等机会取0 ~n- 1中的任何一个值.

如 对（2 - 8）式中的n 使用归纳法，可得到t (n)≤kn l o ge n，其中n> 1且k=2(c+d)，e～2 . 7 1 8为自 然对数的基底。在归纳开始时首先验证n= 2时公式的正确性。根据公式（ 1 4 - 8），可以得到t( 2 )≤2c+ 2d≤k nl o ge 2。在归纳假设部分，假定t(n)≤kn l o ge n（当2≤n＜m 时，m 是任意一个比2大的整数＝.

图1 4 - 1 0对本书中所讨论的算法在平均条件下和最坏条件下的复杂性进行了比较。


方法最坏复杂性平均复杂性

冒泡排序n2 n2

计数排序n2 n2

插入排序n2 n2

选择排序n2 n2

堆排序nl o gn nl o gn

归并排序nl o gn nl o gn

快速排序n2 nl o gn

图14-10 各种排序算法的比较


中 值快速排序（ median-of-three quick sort）是程序1 4 - 6的一种变化，这种算法有更好的平均性能。注意到在程序 1 4 - 6中总是选择a [ 1 ]做为支点，而在这种快速排序算法中，可以不必使用a [ 1 ]做为支点，而是取{a[1],a[(1+r) /2],a[r]} 中大小居中的那个元素作为支点。例如，假如有三个元素，大小分别为5，9，7，那么取7为支点。为了实现中值快速排序算法，一种最简 单的方式就是首先选出中值元素并与a[1] 进行交换，然后利用程序1 4 - 6完成排序。如果a [ r ]是被选出的中值元素，那么将a[1] 与 a[r] 进行交换，然后将a [ 1 ]（即原来的a [ r ]）赋值给程序1 4 - 6中的变量p i v o t，之后继续执行程序1 4 - 6中的其余代码。

图2 - 11中分别给出了根据实验所得到的归并排序、堆排序、插入排序、快速排序的平均时间。对于每一个不同 的n, 都随机产生了至少1 0 0组整数。随机整数的产生是通过反复调用s t d&nbsp;l i b . h库中的 r a n d o m函数来实现的。如果对一组整数进行排序的时间少于1 0个时钟滴答，则继续对其他组整数进行排序，直到所用的时间不低于1 0个时 钟滴答。在图2 - 11中的数据包含产生随机整数的时间。对于每一个n，在各种排序法中用于产生随机整数及其他开销的时间是相同的。因此，图2 - 11中的数据对于比较各种排序算法是很有用的。

对于足够大的n，快速排序算法要比其他算法效率更高。从图中可以看到快速排序曲线 与插入排序曲线的交点横坐标比2 0略小，可通过实验来确定这个交点横坐标的精确值。可以分别用n = 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9进行实验，以寻找精确的交点。令精确的交点横坐标为nBr e a k。当n≤nBreak 时，插入排序的平均性能最佳。当n＞nBreak 时，快速排序性能最佳。当n＞nBreak 时，把插入排序与快速排序组合为一个排序函数，可以提高快速排序的性能，实现方法是把程序1 4 - 6中的 以下语句：

if(l >= r)r e t u r n ;

替换为

if (r-1  
这 里I n s e r t i o n S o r t ( a , l , r )用来对a [ 1 : r ]进行插入排序。测量修改后的快速排序算 法的性能留作练习（练习2 0）。用更小的值替换n B r e a k有可能使性能进一步提高（见练习2 0）。

大多数实验表明，当n＞c时（c为某一常数），在最坏情况下归并排序的性能也是最佳的。而当n≤c时，在最坏情况下插入排序的性能最佳。通过将插入排序与归并排序混合使用，可以提高归并排序的性能

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

转自：http://blog.csdn.net/ehxee/archive/2004/09/10/100460.aspx

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

看这个例子就可以理解快速排序算法：

//******************************    
     //描述：快速排序算法
     //类名：QuickSort
     //作者：洪晓军
     //时间：2004-11-2
     //******************************  

     public class QuickSort
    {
        public void quickSort(int[ ] a,int left, int right)     //left为数组a第一个元素位置，right为数组a最后一个元素位置
        {
            int i, j, pivot, temp;     //pivot为支点
            if (left >= right)
                return;
            i = left;
            j = right + 1;
            pivot = a[left];
            while (true)
            {
                do
                {
                    i++;
                } while (a[i] < pivot && i < right);     //从左向右寻找大于支点元素
                do
                {
                    j--;
                } while (a[j] > pivot && j > 0);     //从右向左寻找小于支点元素
                if (i >= j)
                    break;
                else     //满足i<j则交换i和j位置元素值
                {
                    temp = a[i];
                    a[i] = a[j];
                    a[j] = temp;
                }
            }
            a[left] = a[j];
            a[j] = pivot;     //以a[j]为新支点，j位置左边元素值均小于a[j],j位置右边元素值均大于a[j]
            quickSort(a, left, j - 1);      //递归排序
            quickSort(a, j + 1, right);
        }
    }