压缩感知稀疏基之离散小波变换

题目：压缩感知稀疏基之离散小波变换

看小波变换的时间超过半个月了，到今天为止终于可以得到小波变换矩阵（小波基）了，该陆续写一些总结了，这一篇给出最核心的东西：在Matlab中如何得到小波变换矩阵？

我看小波变换的最终目的也是为了得到小波变换矩阵，因为小波并不是目的，看小波是为了研究压缩感知的稀疏表示。但小波变换真心不是一般的正交变换，它没有一个简单的公式可以表达，里面涉及的概念太多，一时无法吸收消化。

离散小波变换（DiscreteWavelet Transform, DWT）和离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform, DFT）不一样，在Matlab中确实有dwt函数，但它与一般书中讲的DWT不一样，dwt是基于Mallat（法国学者，音译为马拉特）算法实现的，针对的离散时间信号，而DWT指的是将连续小波变换（Continuous WaveletTransform, CWT）中的尺度参数a和时移参数b离散化，即将下式中的a和b离散化，但t仍然是连续的。

Mallat算法框图如下：

小波变换跟普通的正交变换不同，它是一个多层分解。如Mallat算法框图所示，一个长为N的信号x，第一层分解为高频部分D₁和低频部分A₁，长度均为N/2；第二层分解将A₁分解为高频部分D₂和低频部分A₂，长度均为N/4；第三层分解将A₂分解为高频部分D₃和低频部分A₃，长度均为N/8，依此类推，但分解所得到的所有结果长度总和仍为N，例如一层分解后得到D₁和A₁（两个长度为N/2的序列），二层分解后得到D₁、D₂和A₂（N/2+N/4+N/4），三层分解后得到D₁、D₂、D₃和A₃（N/2+N/4+N/8+N/8）。

不同的小波母函数对应的小波基不同，在特定小波基下最多可以分解多少层在Matlab中可以使用函数wmaxlev去求解。

在Mallat算法框图中，多层分解的过程相当于滤波的过程，例如由x0分别得到d1和x1相当于让x0分别通过滤波器h1和h0，然后再下采样，每两个点抽取一个点。滤波的过程实际上就是卷积了，但这里就有一个问题：N点长的序列与M点长的序列线性卷积后长度为N+M-1，并不等于N，也就是说下采样后每两点抽取一点得到的结果并不是N/2，而且线性卷积的四个步骤（反转、平移、相乘、相加）在计算卷积结果两侧的点时，反转平移后两个卷积序列只有部分点对应上，到底如何处理边界的这些点？这里就涉及到了信号的扩展，Matlab支持多种扩展模式，可以使用函数dwtmode查询、更改。值得注意的是，只有Periodization模式分解结果长度为N/2，其它模式长度均为floor((N+M-1)/2)，为了保证小波分解后总体长度不变，因此这里必须采用Periodization模式；Matlab默认信号扩展模式为Symmetrization(half-point)，可以通过dwtmode(‘per’)设置为Periodization模式。

在Matlab中，dwt只能实现单层分解，更强大功能的函数是wavedec函数，可以设置分解层数。前面说了小波分解实际上一个滤波的过程，滤波器的系数的可通过函数wfilters得到，滤波可以通过卷积实现，卷积可以表示为矩阵运算，因此小波分解可以表示为输出向量等于小波变换矩阵乘以输入向量。在这篇博客里，我要得到一个小波变换矩阵，使其等价于Matlab自带的函数dwt和wavedec功能。我的Matlab版本是Version7.9.0.529(R2009b)，不知道不同的版本是否会不一样。

在Mallat算法框图中，G₁(n)=x(n)*g(n)，H₁(n)= x(n)*h(n)，其中”*”表示卷积。

设x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则H₁(n)的长度为N+M-1(假设N>M)，以上卷积关系写为矩阵形式：（H₁(n)以y(n)表示）

卷积之后还要抽样，每两个点抽一个点，这里dwtmode设置为Periodization模式，因此抽样只有N/2个点，实际上就是对上面由h构成的矩阵的N+M-1行当中抽取N/2行，但抽取哪N/2行呢？通过验证，在MATLAB中是这样子做的，将矩阵的前M/2-1行和后M/2-1行略掉，这样还剩N+M-1-( M/2-1)*2=N+1行，然后抽取其中的偶数行即可得到N/2行，这里假设了M为偶数，而在小波变换中滤波器的长度(h和g的长度)就是偶数。

由于这里dwtmode设置为Periodization模式，即对x进行周期延拓（注：这里x的长度取为2的整数次幂，因此与Periodized Padding模式(可通过dwtmode(‘ppd’)设置)是相同的），因此矩阵每一行实际上应该是h各元素的一个循环移位，因为卷积要反转移位，所以每一行是h各元素倒序的循环移位，当然，由于h的长度小于x，因为要补零的。

有关扩展模式的详细说明参见博文《小波变换中的信号扩展(延拓)问题》。

从由h构成的矩阵抽取N/2行，同理，再从由g构成的矩阵抽取N/2行，上下放在一起可以组成一个N×N的矩阵，即我们要找的小波变换矩阵。

另外，为了实现多层分解，只要用一个矩阵连乘就可以了。从x得到D₁和A₁的过程（即第一层分解）可以用矩阵表示为：

第二层分解是由A₁得到D₂和A₂的过程，可用矩阵表示如下：

若把第一层分解和第二层分解写在一起，可用分块矩阵的概念表示如下：

第三层分解以此规律类推即可。

理论就阐述这么多，最重要的是给出Matlab程序：

function [ ww ] = dwtmtx( N,wtype,wlev )%DWTMTX Discrete wavelet transform matrix%   This function generates the transform matrix ww according to input%   parameters N,wtype,wlev .%Detailed explanation goes here%   N is the dimension of ww%   wtype is the wavelet type%   wlev is the number of decomposition level%NOTE: The extension mode must be Periodization('per')[h,g]= wfilters(wtype,'d');         %Decomposition low&high pass filterL=length(h);                        %Filter lengthh_1 = fliplr(h);                    %Flip matrix left to rightg_1 = fliplr(g);loop_max = log2(N);loop_min = double(int8(log2(L)))+1;if wlev>loop_max-loop_min+1    fprintf('\nWaring: wlev is too big\n');    fprintf('The biggest wlev is %d\n',loop_max-loop_min+1);    wlev = loop_max-loop_min+1;endww=1;for loop = loop_max-wlev+1:loop_max    Nii = 2^loop;    p1_0 = [h_1 zeros(1,Nii-L)];    p2_0 = [g_1 zeros(1,Nii-L)];    p1 = zeros(Nii/2,Nii);    p2 = zeros(Nii/2,Nii);    for ii=1:Nii/2        p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1)+1-(L-1)+L/2-1)';        p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1)+1-(L-1)+L/2-1)';    end    w1=[p1;p2];    mm=2^loop_max-length(w1);    w=[w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)];    ww=ww*w;    clear p1;clear p2;end%The end!!!end

为了验证以上的dwtmtx函数是否正确，可以用以下程序验证：

%验证函数dwtmtx的正确性clear all;close all;clc;N = 2^7;% 'db1' or 'haar', 'db2', ... ,'db10', ... , 'db45'% 'coif1', ... , 'coif5'% 'sym2', ... , 'sym8', ... ,'sym45'% 'bior1.1', 'bior1.3', 'bior1.5'% 'bior2.2', 'bior2.4', 'bior2.6', 'bior2.8'% 'bior3.1', 'bior3.3', 'bior3.5', 'bior3.7'% 'bior3.9', 'bior4.4', 'bior5.5', 'bior6.8'% 'rbio1.1', 'rbio1.3', 'rbio1.5'% 'rbio2.2', 'rbio2.4', 'rbio2.6', 'rbio2.8'% 'rbio3.1', 'rbio3.3', 'rbio3.5', 'rbio3.7'% 'rbio3.9', 'rbio4.4', 'rbio5.5', 'rbio6.8'wtype = 'rbio6.8';wlev_max = wmaxlev(N,wtype);if wlev_max == 0    fprintf('\nThe parameter N and wtype does not match!\n');enddwtmode('per');for wlev = 1:wlev_max    ww = dwtmtx(N,wtype,wlev);    x = randn(1,N);    y1 = (ww*x')';    [y2,y2l] = wavedec(x,wlev,wtype);    y_err = sum((y1-y2).*(y1-y2));    fprintf('wlev = %d: y_err = %f\n',wlev,y_err);end

其中wtype可以改成上面中的任意一个，即得到不同小波母函数的小波基，通过观察输出结果y_err的值（均为零），说明由dwtmtx函数得到变换矩阵求小波分解系数与Matlab自带的函数wavedec所得结果是一模一样的。

这是不是意味着我得到了小波变换矩阵呢？

 

【参考文献】

参考文献就写一个网络资源加两本小波分析的Matlab参考书吧，感谢各种网络资源，不能一一列举，从心里表示真诚的感谢！

【1】Compressive sensingfor image using wavelet transform and orthogonal matching pursuit algorithm(measurements in both space domain and wavelet domain areprovided).  M-fileDownload (http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/Files/Wavelet_OMP.zip)

【2】葛哲学，沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京：电子工业出版社，2007.

【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2004.