压缩感知稀疏基之离散哈特莱变换(DHT)和离散W变换

题目：压缩感知稀疏基之离散哈特莱变换(DHT)和离散W变换

 

在前面的《压缩感知的常见稀疏基名称及离散傅里叶变换基》中提到了DWT，并没有提到离散哈特莱变换(Discrete Hartley Transform, DHT)，但讨论正交变换理论下的稀疏基，比较常见的正交变换应该提一下的，虽然前面提到的DWT也不知道是不是指的离散W变换，因为一般情况下DWT是指的离散小波变换(DiscreteWavelet Transform, DWT)，有时也指离散沃尔什变换(Discrete WalshTransform, DWT)，不管它是不是指的离散W变换吧，这里都讨论一下吧，之所以把DHT和离散W变换放到一起是因为DHT是离散W变换的四种形式中的第一种形式。下面提到DWT即指离散W变换而不是离散小波变换等其它变换。

注：有时DHT也用来表示离散哈达玛变换(Discrete HadamardTransform DHT)。

一、离散哈特莱变换(Discrete Hartley Transform, DHT)

哈特莱是一个人名，英文为Hartley，有时音译为哈特利或哈特雷，他在1942年提出连续Hartley变换，42年后于1984年，Bracewell提出了离散Hartley变换（DHT）。

在这里，我直接将DHT公式给成正交变换的形式：

上面定义式中我直接将定标因子写为1/N的开方，这样保证DHT的变换矩阵H_N直接是正交矩阵：

观察发现矩阵H_N不但是正交矩阵并且还是对称矩阵（转置与本身相等），因此逆矩阵与本身相等（正交矩阵的逆矩阵等于其转置），即DHT的逆变换与正变换形式相同。

DHT也有四种形式，上面给出的是第一种形式，其它参见维基百科【1】。

二、离散W变换(Discrete W Transform, DWT)

有关离散W变换，我一直想找出它的全中文名字，但我查了好久也没有找到，英文文献中是以DiscreteW Transform来表述的，中文文献中是以离散W变换来表述的。离散W变换是由王中德提出的，所以我猜这里的“W”应该是指其姓氏“王(Wang)”的首字母W，因此若要找出它的全中文名字应该是“离散王中德变换”，当然提出者也没有这么命名，这里纯属我自己推测了。

采用文献【2】中的定义，离散W变换定义如下：

其中α和β分别是时域和频率的参数，它们的取值可以是（0，0）、（1/2，0）、（0，1/2）、（1/2，1/2）中的任一个，也就是说DWT共有四种形式，依次为DWT-Ⅰ、DWT-Ⅱ、DWT-Ⅲ、DWT-IV。可以发现，当取（0，0）时的DWT-Ⅰ即为DHT(利用和差化积公式将求和里面的sin展开即可)。

DWT-Ⅳ不但可以得到信号整数倍的谐波，而且可以得到分数倍的谐波。

三、离散W变换奠基人王中德介绍

在网上搜索了“王中德”这个人，却搜不到任何有用信息，感觉如此关注于基础研究的人，无论是IEEE还是其它权威期刊上发表过很多文章，网上竟然没有他的信息，无论是正面的还是负面的。在网络如此发达的今天，哪怕是一个博导教授一般在百度百科里也有会的，不知道到底是为什么没有王先生的信息。最终我从两篇论文中找到了一些有关王中德的个人信息，总结如下：

王中德，1937年3月19日生于江苏南京，1960年毕业于云南大学物理系，毕业后在昆明物理所工作，1980年至1983年在美国亚利桑那(Arizona)大学电机系数字图像分析实验室进修，曾获美国国家自然科学基金，后来到北京邮电学院电信工程系工作。研究方向包括算法研究、信号处理、图像处理等。IEEE高级会员、美国数学学会会员、中国电子学会会员、中国物理学会会员。

四、如何得到DHT基和DWT基

（1）离散W变换

其实写一个通用的函数得到四种离散W变换的变换矩阵就已经得到了DHT的变换矩阵，所以这里先讨论DWT。

Matlab中有dwt函数，但并不是指的离散W变换，而是离散小波变换，谁让小波变换更牛更广一些呢，这里我给出一个离散W变换的Matlab函数：

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1. function [ X ] = DWangT( x,dwt_type )  
2. %DWangT Summary of this function goes here  
3. %   Detailed explanation goes here  
4. %   x is the input single  
5. %   dwt_type decides DWangT types  
6. %   X is the discrete W transform of x  
7. N = length(x);  
8. [x_rows,x_columns] = size(x);  
9. if x_rows<x_columns  
10.     x = x';%x should be a column vector  
11. end  
12. [k,n] = meshgrid(0:N-1);  
13. if dwt_type==2  
14.     alpha = 1/2;  
15.     beta = 0;  
16. elseif dwt_type==3  
17.     alpha = 0;  
18.     beta = 1/2;  
19. elseif dwt_type==4  
20.     alpha = 1/2;  
21.     beta = 1/2;  
22. else  
23.     alpha = 0;  
24.     beta = 0;  
25. end  
26. WN = sqrt(2/N) * sin(pi/4 + 2*pi/N * (n+alpha) .* (k+beta));  
27. X = WN*x;  
28. end  

这里根据输入参数dwt_type的值决定是哪一种离散W变换。

若要得到得到离散W变换的变换矩阵，稍微把上面函数变一下形就可以了：

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1. function [ WN ] = DWangTmtx( N,dwt_type )  
2. %DWangTmtx Summary of this function goes here  
3. %   Detailed explanation goes here  
4. %   N is the dimension of WN  
5. %   dwt_type decides DWangT types  
6. %   WN is the Discrete W Transform matrix  
7. [k,n] = meshgrid(0:N-1);  
8. if dwt_type==2  
9.     alpha = 1/2;  
10.     beta = 0;  
11. elseif dwt_type==3  
12.     alpha = 0;  
13.     beta = 1/2;  
14. elseif dwt_type==4  
15.     alpha = 1/2;  
16.     beta = 1/2;  
17. else  
18.     alpha = 0;  
19.     beta = 0;  
20. end  
21. WN = sqrt(2/N) * sin(pi/4 + 2*pi/N * (n+alpha) .* (k+beta));  
22. end  

（2）离散哈特莱变换

其实只要令上面的dwt_type=1即可得到DHT变换和DHT变换矩阵，这是还是单独给出DHT的变换函数：

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1. function [ X ] = DHartleyT( x )  
2. %DHartleyT Summary of this function goes here  
3. %   Detailed explanation goes here  
4. %   x is the input single  
5. %   X is the discrete Hartley transform of x  
6. N = length(x);  
7. [x_rows,x_columns] = size(x);  
8. if x_rows<x_columns  
9.     x = x';%x should be a column vector  
10. end  
11. [k,n] = meshgrid(0:N-1);  
12. HN = sqrt(1/N)*(cos(2*pi/N*n.*k)+sin(2*pi/N*n.*k));  
13. X = HN*x;  
14. end  

若要得到得到离散哈特莱变换的变换矩阵，稍微把上面函数变一下形就可以了：

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1. function [ HN ] = DHartleyTmtx( N )  
2. %DHartleyT Summary of this function goes here  
3. %   Detailed explanation goes here  
4. %   N is the dimension of WN  
5. %   HN is the Discrete Hartley Transform matrix  
6. [k,n] = meshgrid(0:N-1);  
7. HN = sqrt(1/N)*(cos(2*pi/N*n.*k)+sin(2*pi/N*n.*k));  
8. end  

五、结语

离散W变换就说这么多吧，深层次的理解还没有多少，有新理解的话再发文。

 

参考文献：

【1】维基百科.离散哈特利转换，http://zh.wikipedia.org/zh-cn/離散哈特利轉換

【2】胡广书.数字信号处理理论、算法与实现（第三版）[M]. 北京：清华大学出版社，2012：351-352.