树结构(一) - 二叉树查找树的原理与实现
来源：互联网 发布：二手跳蚤市场淘宝 编辑：程序博客网 时间：2024/05/16 09:26
一、二叉树查找树的原理
二叉查找树(Binary Search Tree)，它是特殊的二叉树：对于二叉树，假设x为二叉树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。那么，这棵树就是二叉查找树。如下图所示：
在二叉查找树中：
1、若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2、 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3、 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
4、 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
二、二叉查找树的实现
1. 二叉查找树节点的定义
public class BSTree<T extends Comparable<T>> { private BSTNode<T> mRoot; // 根结点 public class BSTNode<T extends Comparable<T>> { T key; // 关键字(键值) BSTNode<T> left; // 左孩子 BSTNode<T> right; // 右孩子 BSTNode<T> parent; // 父结点 public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) { this.key = key; this.parent = parent; this.left = left; this.right = right; } } ......}BSTree是二叉树，它保护了二叉树的根节点mRoot；mRoot是BSTNode类型，而BSTNode是二叉查找树的节点，它是BSTree的内部类。BSTNode包含二叉查找树的几个基本信息：
(1) key -- 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(2) left -- 它指向当前节点的左孩子。
(3) right -- 它指向当前节点的右孩子。
(4) parent -- 它指向当前节点的父结点。
2. 遍历
这里讲解前序遍历、中序遍历、后序遍历3种方式。
2.1 前序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(1) 访问根结点；
(2) 先序遍历左子树；
(3) 先序遍历右子树。
private void preOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { System.out.print(tree.key+" "); preOrder(tree.left); preOrder(tree.right); }}public void preOrder() { preOrder(mRoot);}2.2 中序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(1) 中序遍历左子树；
(2) 访问根结点；
(3) 中序遍历右子树。
private void inOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { inOrder(tree.left); System.out.print(tree.key+" "); inOrder(tree.right); }}public void inOrder() { inOrder(mRoot);}2.3 后序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(1) 后序遍历左子树；
(2) 后序遍历右子树；
(3) 访问根结点。
private void postOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { postOrder(tree.left); postOrder(tree.right); System.out.print(tree.key+" "); }}public void postOrder() { postOrder(mRoot);}看看下面这颗树的各种遍历方式：
对于上面的二叉树而言，
(1) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(2) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(3) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3
3. 查找
递归的代码
/* * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) { if (x==null) return x; int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) return search(x.left, key); else if (cmp > 0) return search(x.right, key); else return x;}public BSTNode<T> search(T key) { return search(mRoot, key);}非递归的代码
/* * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) { while (x!=null) { int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) x = x.left; else if (cmp > 0) x = x.right; else return x; } return x;}public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) { return iterativeSearch(mRoot, key);}4. 最大值和最小值
查找最大值的代码
/* * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。 */private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.right != null) tree = tree.right; return tree;}public T maximum() { BSTNode<T> p = maximum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null;}查找最小值代码
/* * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。 */private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.left != null) tree = tree.left; return tree;}public T minimum() { BSTNode<T> p = minimum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null;}5. 前驱和后继
节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。
查找前驱节点的代码
/* * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。 */public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) { // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。 if (x.left != null) return maximum(x.left); // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能： // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。 // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。 BSTNode<T> y = x.parent; while ((y!=null) && (x==y.left)) { x = y; y = y.parent; } return y;}查找后继节点的代码
/* * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。 */public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) { // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。 if (x.right != null) return minimum(x.right); // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能： // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。 // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。 BSTNode<T> y = x.parent; while ((y!=null) && (x==y.right)) { x = y; y = y.parent; } return y;}6. 插入
插入节点的代码
/* * 将结点插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的 * z 插入的结点 */private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) { int cmp; BSTNode<T> y = null; BSTNode<T> x = bst.mRoot; // 查找z的插入位置 while (x != null) { y = x; cmp = z.key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) x = x.left; else x = x.right; } z.parent = y; if (y==null) bst.mRoot = z; else { cmp = z.key.compareTo(y.key); if (cmp < 0) y.left = z; else y.right = z; }}/* * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * key 插入结点的键值 */public void insert(T key) { BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null); // 如果新建结点失败，则返回。 if (z != null) insert(this, z);}7. 删除
删除节点的代码
/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * bst 二叉树 * z 删除的结点 */private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) { BSTNode<T> x=null; BSTNode<T> y=null; if ((z.left == null) || (z.right == null) ) y = z; else y = successor(z); if (y.left != null) x = y.left; else x = y.right; if (x != null) x.parent = y.parent; if (y.parent == null) bst.mRoot = x; else if (y == y.parent.left) y.parent.left = x; else y.parent.right = x; if (y != z) z.key = y.key; return y;}/* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * z 删除的结点 */public void remove(T key) { BSTNode<T> z, node; if ((z = search(mRoot, key)) != null) if ( (node = remove(this, z)) != null) node = null;}8. 打印
打印二叉查找树的代码
/* * 打印"二叉查找树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) { if(tree != null) { if(direction==0) // tree是根节点 System.out.printf("%2d is root\n", tree.key); else // tree是分支节点 System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left"); print(tree.left, tree.key, -1); print(tree.right,tree.key, 1); }}public void print() { if (mRoot != null) print(mRoot, mRoot.key, 0);}9. 销毁
销毁二叉查找树的代码
/* * 销毁二叉树 */private void destroy(BSTNode<T> tree) { if (tree==null) return ; if (tree.left != null) destroy(tree.left); if (tree.right != null) destroy(tree.right); tree=null;}public void clear() { destroy(mRoot); mRoot = null;}全部过程代码：
/** * 二叉查找树 * * @author Anndy */public class BSTree<T extends Comparable<T>> { private BSTNode<T> mRoot; // 根结点 public class BSTNode<T extends Comparable<T>> { T key; // 关键字(键值) BSTNode<T> left; // 左孩子 BSTNode<T> right; // 右孩子 BSTNode<T> parent; // 父结点 public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) { this.key = key; this.parent = parent; this.left = left; this.right = right; } public T getKey() { return key; } public String toString() { return "key:"+key; } } public BSTree() { mRoot=null; } /* * 前序遍历"二叉树" */ private void preOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { System.out.print(tree.key+" "); preOrder(tree.left); preOrder(tree.right); } } public void preOrder() { preOrder(mRoot); } /* * 中序遍历"二叉树" */ private void inOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { inOrder(tree.left); System.out.print(tree.key+" "); inOrder(tree.right); } } public void inOrder() { inOrder(mRoot); } /* * 后序遍历"二叉树" */ private void postOrder(BSTNode<T> tree) { if(tree != null) { postOrder(tree.left); postOrder(tree.right); System.out.print(tree.key+" "); } } public void postOrder() { postOrder(mRoot); } /* * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */ private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) { if (x==null) return x; int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) return search(x.left, key); else if (cmp > 0) return search(x.right, key); else return x; } public BSTNode<T> search(T key) { return search(mRoot, key); } /* * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点 */ private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) { while (x!=null) { int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) x = x.left; else if (cmp > 0) x = x.right; else return x; } return x; } public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) { return iterativeSearch(mRoot, key); } /* * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。 */ private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.left != null) tree = tree.left; return tree; } public T minimum() { BSTNode<T> p = minimum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null; } /* * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。 */ private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.right != null) tree = tree.right; return tree; } public T maximum() { BSTNode<T> p = maximum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null; } /* * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。 */ public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) { // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。 if (x.right != null) return minimum(x.right); // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能： // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。 // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。 BSTNode<T> y = x.parent; while ((y!=null) && (x==y.right)) { x = y; y = y.parent; } return y; } /* * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。 */ public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) { // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。 if (x.left != null) return maximum(x.left); // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能： // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。 // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。 BSTNode<T> y = x.parent; while ((y!=null) && (x==y.left)) { x = y; y = y.parent; } return y; } /* * 将结点插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的 * z 插入的结点 */ private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) { int cmp; BSTNode<T> y = null; BSTNode<T> x = bst.mRoot; // 查找z的插入位置 while (x != null) { y = x; cmp = z.key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) x = x.left; else x = x.right; } z.parent = y; if (y==null) bst.mRoot = z; else { cmp = z.key.compareTo(y.key); if (cmp < 0) y.left = z; else y.right = z; } } /* * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * key 插入结点的键值 */ public void insert(T key) { BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null); // 如果新建结点失败，则返回。 if (z != null) insert(this, z); } /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * bst 二叉树 * z 删除的结点 */ private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) { BSTNode<T> x=null; BSTNode<T> y=null; if ((z.left == null) || (z.right == null) ) y = z; else y = successor(z); if (y.left != null) x = y.left; else x = y.right; if (x != null) x.parent = y.parent; if (y.parent == null) bst.mRoot = x; else if (y == y.parent.left) y.parent.left = x; else y.parent.right = x; if (y != z) z.key = y.key; return y; } /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * tree 二叉树的根结点 * z 删除的结点 */ public void remove(T key) { BSTNode<T> z, node; if ((z = search(mRoot, key)) != null) if ( (node = remove(this, z)) != null) node = null; } /* * 销毁二叉树 */ private void destroy(BSTNode<T> tree) { if (tree==null) return ; if (tree.left != null) destroy(tree.left); if (tree.right != null) destroy(tree.right); tree=null; } public void clear() { destroy(mRoot); mRoot = null; } /* * 打印"二叉查找树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */ private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) { if(tree != null) { if(direction==0) // tree是根节点 System.out.printf("%2d is root\n", tree.key); else // tree是分支节点 System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left"); print(tree.left, tree.key, -1); print(tree.right,tree.key, 1); } } public void print() { if (mRoot != null) print(mRoot, mRoot.key, 0); }}测试代码：
package com.struction;/** * Java 语言: 二叉查找树 * * @author Anndy */public class BSTreeTest { private static final int arr[] = {1,5,4,3,2,6}; public static void main(String[] args) { int i, ilen; BSTree<Integer> tree=new BSTree<Integer>(); System.out.print("== 依次添加: "); ilen = arr.length; for(i=0; i<ilen; i++) { System.out.print(arr[i]+" "); tree.insert(arr[i]); } System.out.print("\n== 前序遍历: "); tree.preOrder(); System.out.print("\n== 中序遍历: "); tree.inOrder(); System.out.print("\n== 后序遍历: "); tree.postOrder(); System.out.println(); System.out.println("== 最小值: "+ tree.minimum()); System.out.println("== 最大值: "+ tree.maximum()); System.out.println("== 树的详细信息: "); tree.print(); System.out.print("\n== 删除根节点: "+ arr[3]); tree.remove(arr[3]); System.out.print("\n== 中序遍历: "); tree.inOrder(); System.out.println(); // 销毁二叉树 tree.clear(); }}运行结果：
== 依次添加: 1 5 4 3 2 6 == 前序遍历: 1 5 4 3 2 6 == 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 == 后序遍历: 2 3 4 6 5 1 == 最小值: 1== 最大值: 6== 树的详细信息: 1 is root 5 is 1's right child 4 is 5's left child 3 is 4's left child 2 is 3's left child 6 is 5's right child== 删除根节点: 3== 中序遍历: 1 2 4 5 6
下面对测试程序的流程进行分析！
(1) 新建"二叉查找树"root。
(2) 向二叉查找树中依次插入1,5,4,3,2,6 。如下图所示：
(3) 遍历和查找
插入1,5,4,3,2,6之后，得到的二叉查找树如下：
前序遍历结果: 1 5 4 3 2 6
中序遍历结果: 1 2 3 4 5 6
后序遍历结果: 2 3 4 6 5 1
最小值是1，而最大值是6。
(4) 删除节点3。如下图所示：
(5) 重新遍历该二叉查找树。
中序遍历结果: 1 2 4 5 6
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