中位数与n分位数

第9章中位数和顺序统计量

其实《算法导论》第三版第9章，已经讲了不少有关中位数和顺序统计量的知识。

尤其是9.3的那个线性时间内确定中位数（其实可以拓展到任意一个n分位数）的算法，简直不要太屌。

额。我自认为我没可能讲的比《算法导论》还要好，而且，又不便直接复制粘贴。所以那部分东西我就不讲了，这篇博文就以中位数的拓展为主。

电梯调度

记得《编程之美》有一个电梯调度问题，大意就是每天，一堆人从1楼做电梯，然后每层楼都停，感觉很烦，如果能够在一个合适的地方停一下，然后，没到的人几个人向上走，停过了人向下走。。。然后对于一堆人的电梯在一层就已经确定的目标楼层数据，应该选择在哪一层停才能使，向上走的人走的总层数和向下走的人的总层数最小？

比如 有三个人 他们目标楼层分别是（3，5，9），那么如果你在第3层停，结果到第5层和第9层的就需要向上走，3-3 ＋ 5-3 ＋ 9-3 ＝ 8层。代价是8层，

如果是在第5层停，那么向下走的话，结果是第3层的那个要向下走 5-3 ＋ 5-5 ＋ 9－5 ＝ 6层。 代价6层，结果比原来的8层代价少，所以停在第5层更好。

分析：其实这道题目是算法导论9.3-9的特例。这个东西其实想一想就知道是中位数。。。我们求个中位数就妥了。。。注意比如（3，9，9）这些数据的中位数是9，不是3，也不是 （9 ＋3）／2 ＝ 6，而是9。这是统计学的基本知识点，注意。（2，4，6，9）的中位数，我们考虑成（4+6）/2 ＝ 5.

由于本题的东西是电梯，楼层有限，所以可以考虑用计数排序，特别简单，直接找中位数就可以了。

脑洞大开，一档

为何是中位数？ 

这么一问，这个东西就蛋疼了。

这个东西我们假设最好是停在min层，然后min层对应的代价是price_m，如果至少应该满足以下的两个性质。

1.如果我们停在min + 1层，那么总代价应该大于等于price_m,。

2.向下一层 总代价应该也是大于等于price_m。

假设，在第min层时，有a个人他们的楼层数小于 min， 有b个人他们的楼层数等于min， 有c个人他们的楼层数大于min

那么结果就是 向上走一层的代价就是 price_m ＋ (a＋b)*1 - c*1 >=price_m     ---------->a+b >= c    --------> c <= (a+b+c) / 2

同理向下走一层代价就是 price_m + (c+b)*1 - a*1 >= price_m          ----> b+c >= a     -----------> a <= (a+b+c)/2

所以，中位数所在的地方，满足这个性质。

对于（2，4，6，9）这类数据，中位数是5，在4，6之间都是可以的。而且在[4，6]之间移动时，向上移动满足a+b ＝= c， 向下移动满足 b+c ＝= a成立。

所以中位数的5和其他解的值一样，都是最优解。

如果类似于 （2，4，4，8）这种数据，中位数是4，向上移动和向下移动都会有问题，所以中位数是本例子的唯一最优解。

我们可以看出，无论什么情况，中位数，总能给出最优的解答。所以本题可以用中位数来做。

脑洞大开，二档

我们来考虑一下这个题的变种，比如向下走的人他们的代价小一点。向上的人代价大一点。

假定，向下走一层，代价为1，向上走一层，代价为k，k>1.

那么很明显，我们可以通过上面的一档的考虑，给出解答，解答应该是，从小到大排序，第n * k/ ( 1 + k) 人所在的楼层，如果除不尽的话，那么我们考虑上下去整，

比较一下上面和下面的两个值就可以了。一档只是二档的特殊情况。

脑洞大开，三挡

既然是三挡，我们就应该来点狠的。

比如，这个电梯可以在两个地方停。

那么代价最小的地方应该是哪两个楼层？

假定，最优解是在 x， y，令 y > x, 那么令，x以下的有a个人， x和y之间（不包含x, y）的有 b 个人，y以上的有 c个人

那么 可以断定， a 基本和b  b基本和c相等，所以。我们可以考虑， x， 在这这些数据的下三分点，y在x数据的上三分点。

如果有3个地方可以停下。

那么 我们令它们是 x, y, z, 那么 x <  y < z,   然后依次给出 a, b, c, d 然后， 分析有 a==b, b == c, c==d, 所有就是四分点。

所以。。

最后如果有n个地方可以停下，我们就有 n分位点就可以了。

  

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面是题主作死－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

脑洞大开，四挡

貌似草帽路飞都没有开过四档吧。。。

好吧，我的脑洞已经根本合不上了。

因为我回头看了一下

上面我们分析了一维的情况，我看到了《算法导论》9.3-9，发现它竟然可以是二维的，虽然

那个题可以转换成一维来做，但如果这个东西是　真・二维　捏？

二维的情况，一堆二维的点，我们应该怎么弄。

首先，我们必须考虑二维下距离的定义，

如果 我们按

1.曼哈顿距离定义 ：

点（x1,y1） 和 点（x2,y2）的距离定义成 （｜x1 - x2｜+|y1 - y2|）（算法导论 33。4-3）。如果是这么定义的话，

这个东西就妥了。因为，我们这样就可以把x维和y维分开考虑。。然后令 x为 那一堆数中，在，x这个维度上的中位数。

然后y是 y这个维度上的中位数。

如果我们作死按

2.欧式距离定义：

点（x1,y1） 和 点（x2,y2）的距离定义成 sqrt [(x1 - x2)*(x1-x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2)]

sqrt表示开平方。

那么。。。。

其实我们仍然可以厚着脸皮，假定最优点是 (a, b)

那么总的距离就可以表示成。

其实，我们可以把这个总距离函数给求出来，然后考虑求个梯度什么的，然后，梯度下降加退火算法。

生成一堆种子点，然后搞一搞，总结，感觉特别高大上。。

3.欧式距离平方定义：

点（x1,y1） 和 点（x2,y2）的距离定义成 [(x1 - x2)*(x1-x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2)]，

如果是这样定义，那么这个东西就比较简单，因为可以直接求导，然后，发现只有一个极值点（最小值点）在x，y方向上均取平均数就行了。

3.5欧式距离平方定义与k-means算法：

额，主要是近段时间在看k-means算法，就是那个吴恩达（Adrew ng）在网易公开课的那个。

k-means算法大概是用来分类的。它的优化目标和上面的2很像。。只是他是多个点的优化，比如我要在某个城镇，建3个小学方便就近入学，那应该肿么办。

把每一个居民区看成一个点（或几个点，调整权重），然后，k-means搞一搞。。。对于距离可以给出一个心里价位的函数。比如同2一样，用总距离的平方的和定义。

然后通过k-means收敛几下，就可以大概给出参考点了。。。当然实际规划中肯定会考虑更多东西，这只是给一个参考。