线性代数笔记（向量）

1）数量：又叫标量，纯量，只有大小没有方向，可以用一个数值来确定；
2）向量：又名矢量，描述这类量不仅需要大小，还需要表达其方向；
3）有向线段：具有一定长度和确定方向的线段；
4）几何向量：简称向量，用有向线段表示的向量称几何向量；
5）固定向量，自由向量：起点是否固定来区分，起点固定的叫固定向量，起点不固定的叫自由向量；
6）向量相等：大小和方向都相同；
7）负向量：大小相同，方向相反；
8）模：也叫范数，为向量的大小；||a||
9）单位向量：模为1的向量；
10）零向量：大小（长度）为0的向量，其起点和终点重合，方向不确定；
11）向量的加法：平行四边形法则；
12）向量的减法：加法的逆运算，同样适用平行四边形法则;
13）数乘：数乘用▪表示,方向不变或反向，大小为k倍；
14）线性运算性质：a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c); a+0=a; a+(-a)=0; k(a+b)=ka+kb;(k+l)a=ka+la;(kl)a=k(la);1▪a=a
15）向量空间：又叫几何向量空间。如果向量集合V对加法和数乘运算封闭，则称V为向量空间；
16）二维向量空间，三维向量空间
17）几何向量的坐标表示法：α=aEx+bEy=(a,b).||α||^2=a^2+b^2;
18）坐标向量加法：向量相加等于分量各自相加；向量数乘等于分量分别数乘；
19）n元数组向量：也叫n元向量，由n个有序数组成（是排列，不是组合）；
20）n元向量：零向量，向量相加等于分量相加，向量数乘等于分量分别数乘；具有上面列出的八条基本运算性质；
21）向量空间：更一般性的定义，如果V是n元向量集合，其向量的分量都是数域K上的数，如果V对加法封闭，对数域上k数乘封闭，则成V是向量空间。也称为数域K上的n维向量空间；
22）线性组合：k1...ks是数域K上的数,α1...αs是数域K上的n向量空间,则k1▪α1+k2▪α2+...+ks▪αs为α1..as的一个线性组合.，线性表出:α=k1▪α1+k2▪α2+...+ks▪αs,α属于V;
23 )线性相关：如果对于向量组α1...αs,存在k1...ks不全为零使得k1▪α1+k2▪α2+...+ks▪αs=0成立，则称α1..αs为线性相关，否则为线性无关;
24)线性相关和线性无关的判断可以利用奇次线性方程组的解情况来判断：只有零解，则线性无关，否则则线性相关.
25)向量组的方程组表示：向量列表示，向量的个数等于未知量个数，向量分量个数为方程组的个数；
26）单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；
27）向量组线性相关的充分必要条件为其中一个向量可以由其余向量线性表出；
28）两个向量线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例;
29)向量组的部分向量线性相关，则整个向量组线性相关；
30）极大线性无关组，向量组的秩；
31）向量组等价：相互线性表出；向量组等价具有传递性，等价的线性无关组所含向量个数相同；一个向量组的所有极大线性无关组所含向量个数相同；
32）向量组的秩：向量组的极大线性无关组所含的向量个数；如果向量组A可有向量组B线性表出，则A的秩小于等于B的秩；
33）两个向量组等价，则秩相同;向量组线性无关的充分必要条件是它的秩数等于它所含的向量个数；
向量的算法比较简单，求极大线性无关组包括向量的秩的算法可参见MyMathLib.