线性代数笔记4——向量2（点积）

什么是点积

　　如果A和B都是n维向量，这样定义点积：

 

　　点积结果是标量。

　　点积的几何意义是A和B的模乘以二者的夹角正余玄：

　　在几何意义中，点积同时包含了向量的长度和夹角信息。

　　代数表达和几何表达是等价的。

用余玄定理解释几何意义

 

　　余玄定理是这样说的：已知三角形的两边和夹角，可以知道第三边的长度。根据该定理：

　　如果用向量和点积表达：

　　联合两种表达：

点积的作用

计算向量的角度

　　可以利用点积计算向量之间的夹角，如下图所示：

测量向量的方向

　　根据点积的定义可以看出，点积可能小于0。实际上，只有当夹角小于90°时，点积才是正的。

if θ < 90° then         A·B > 0

if θ > 90° then         A·B < 0

if θ = 90° then         A·B = 0

　　所以说，当两个向量的点积大于0，即夹角小于90°时，我们认为这两个向量的方向大致相同；如果点积小于0，即夹角小于90°是，这两个向量的方向相反；如果点积等于0，二者垂直。这也是另一种理解点积意义的方法——它是测量两个变量相对方向的数字。

判断正交性

　　所谓正交性就是看两样东西是否互相垂直。

　　这里有个例子：

x + 2y + 3z = 0

　　高中的知识告诉我们，这是一个平面表达式，现在尝试用点积去解释。

　　根据点积的定义，令A = <x, y, z>，B = <1, 2, 3>，则：x + 2y + 3z = A·B = 0，因此，A⊥B，即A<x, y, z>的集合垂直于向量B<1, 2, 3>。B是有方向的线段，垂直于B的向量有无数个，它们共同组成了一个平面，就是方程的结果集。

求向量的分量

　　已知向量A，可以求得A沿某单位向量u方向的分量，如下图所示：

　　由上图可知，向量在某一方向的分量就是向量在该方向的投影。设A的分量为P，则：

|P| = |A|cosθ = |A||u|cosθ= A·u

　　即向量在某一方向上的分量等于该向量与这一方向上的单位向量的点积。

综合示例

示例1

　　i, j, k是不同的向量，求向量i + j + 2k， 2i – j + k间的夹角。

　　可以将i, j , k看成三个不同方向的三维向量，每个向量的模都是1。根据点积定义：

示例2

　　已知P = (a, 1, -1), Q = (0, 1, 1), R = (a, -1, 3)，当∠PQR 是直角时，a = ?

 

　　当∠PQR是直角时，向量QP和QR的点积为0，

 

示例3

　　i, j, k是不同的向量，求向量2i - 2j + k在向量i + j + k上的分量。

　　可以将i, j , k看成三个不同方向的三维向量，每个向量的模都是1，|i + j + k|² = 3

　　设u是与i + j + k同方向的单位向量，则|u| = 1，容易得出u = <3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2>

　　最终，分量是：(2i - 2j + k)·u = <2, -2, 1>×<3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2> = 3^-1/2