POJ 2262/ ZOJ 1951：Goldbach\'s Conjecture - 筛法打素数表

题意：

一个偶数能不能表示为两个奇质数a跟b的和，如果能的话由于这个偶数可能可以表示为多个奇质数对的和，输出时只选取b-a最大的那对奇质数

 

选题原因：

本题难度适中，是关于素数的问题，涉及的是素数表的构造，另外，本题很容易超时，要注意处理方法。

 

思路（描述参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_63509b890100nsup.html）：

以空间换时间，利用筛选法求素数

由于最小的奇质数为3，设输入为n，则 令a = 3,b = n-a,然后判断a跟b是否都是质数，如果是的话就输出，如果不是令a= a+2, b = b-2,保证a跟b都是奇数，然后再重复上面的质数的判断，如果直到a>b都没有符合条件的两个数，输出Goldbach's conjecture is wrong.

思路清晰后剩下就是对于质数的判断问题，在上面的问题中，如果每次都判断它是否质数，时间上的耗费比较多，大概是360MS左右，但是我们可以用空间还时间，在开始就可以将范围内的质数存起来。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000002;
bool b[N]={1,1,0};
int p[N/2],num=0;

void prime(){
int i,j,sq=(int)(sqrt(N*1.0));
for(i=1;i<sq;i++)
if(!b[i])
for(j=i*i;j<N;j+=i)
b[j]=1;
for(i=2;i<N;i++)
if(!b[i]) p[num++]=i;
}

int main(){
prime();
int n;
while(scanf("%d",&n)&&n){
int flag=0,i=0;
while(p[i]<n){
if(!b[n-p[i]]){
printf("%d = %d + %d\n",n,p[i],n-p[i]);
flag=1;
break;
}
i++;
}
if(!flag) printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");
}
return 0;
}

附：几种常见素数判定方法

1、试除法

用n除以2-sqrt(n),有一个能除尽就不是素数，否则是素数。

时间复杂度：O(sqrt(n))

2、素数判断法：

这种方法是对上面方法的改进，上面方法是对2-sqrt(n)之间的数进行判断是否能除尽，而因为有如下算术基本定理，可以减少判断量。

算术基本定理：又称为素数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为素数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:6936 = 2^3×3×17^2，1200 = 2^4×3×5^2。

由算术基本定理知，任何合数都可分解为一些素数的乘积，所以判断一个数能不能被2-sqrt(n)之间的素数整除即可。但是必须知道2-sqrt(n)之间的所有素数。

3、筛选法

这种方法可以找出一定范围内的所有的素数。

思路是，要求10000以内的所有素数，把1-10000这些数都列出来，1不是素数，划掉；2是素数，所有2的倍数都不是素数，划掉；取出下一个幸存的数，划掉它的所有倍数；直到所有幸存的数的倍数都被坏掉为止。要找出10000以为的所有的素数，则需要一个大小为10000的数组,将其所有元素设置为未标记首先把1设置为标记，从2开始，标记所有是它倍数的数，然后对下一个没有标记的数进行标记它的倍数。当标记完成后，所有未标记的数即为素数。

int prime100[] =   //100以内的素数
{
  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
};

 

第一种方法：试除法

int is_prime1(int n)
{
    if(n % 2 == 0)
        return 0;
    for(int i=3;i<=sqrt((double)n);i+=2)
        if(n % i == 0)
            return 0;
    return 1;
}

 

第二种方法：素数判断法

若判断10000以内的数，需要知道100以内的所有素数

int is_prime2(int n)
{
    int i;
    for(i=0;i<25;i++)
        if(n % prime100[i] == 0)
            return 0;
    return 1;
}

 

第三种方法：筛选法，打素数表，然后判断(见本题)。