POJ 1050/ ZOJ 1074:To the Max - DP求子矩阵和

题意：

求最大子矩阵和。最大子段和问题在二维空间上的推广

思路：

一维的情况：设有数组a0,a1…an,找除其中连续的子段，使它们的和达到最大。

假如对于子段：9 2 -16 2

dp[i]表示：以ai结尾的子段中的最大子段和。在已知dp[i]的情况下，求dp[i+1]的方法是：如果dp[i] > 0，dp[i + 1] = dp[i] + ai(继续在前一个子段上加上ai)；否则dp[i + 1] = ai(不加上前面的子段)，

也就是说，状态转移方程：dp[i] = (dp[i-1] > 0 ? dp[i - 1] : 0) + buf[i]；

二维的情况，例如下面的数据，

0  -2  -7  0

9   2  -6  2

-4  1  -4   7

-1  8  0   -2

分别用i j表示起始行和终止行，遍历所有的可能：我们考察其中一种情况 i=2 j=4，这样就相当与选中了2 3 4三行，求那几列的组合能获得最大值，由于总是 2 3 4行，所以我们可以将这3行”捆绑”起来，变为求 4(9-4-1),11(8+2+1),-10(-6-4+0),7(7+2-2)的最大子段和，问题成功转化为一维的情况。

<span style="font-size:14px;">#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int N = 110;int a[N][N], b[N];int main(){int n;scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= n; j++){scanf("%d", &a[i][j]);a[i][j] += a[i - 1][j];}int max = a[1][1];for(int i = 0; i <= n - 1; i++)for(int j = i + 1; j <= n; j++){memset(b, 0, sizeof(b));for(int k = 1; k <= n; k++){if(b[k - 1] >= 0)b[k] = b[k - 1] + a[j][k] - a[i][k];elseb[k] = a[j][k] - a[i][k];if(max < b[k])max = b[k];}}printf("%d\n", max);return 0;}</span>