EM最大期望算法

参考资料：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8537620

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html

我的数据挖掘算法代码实现：https://github.com/linyiqun/DataMiningAlgorithm

介绍

em算法是一种迭代算法，用于含有隐变量的参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计。EM算法，作为一个框架思想，它可以应用在很多领域，比如说数据聚类领域----模糊聚类的处理，待会儿也会给出一个这样的实现例子。

EM算法原理

EM算法从名称上就能看出他可以被分成2个部分，E-Step和M-Step。E-Step叫做期望化步骤，M-Step为最大化步骤。

整体算法的步骤如下所示：

1、初始化分布参数。

2、(E-Step)计算期望E，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值，以此实现期望化的过程。

3、(M-Step)最大化在E-步骤上的最大似然估计值来计算参数的值

4、重复2,3步骤直到收敛。

以上就是EM算法的核心原理，也许您会想，真的这么简单，其实事实是我省略了其中复杂的数据推导的过程，因为如果不理解EM的算法原理，去看其中的数据公式的推导，会让人更加晕的。好，下面给出数据的推导过程，本人数学也不好，于是用了别人的推导过程，人家已经写得非常详细了。

EM算法的推导过程

jensen不等式

在介绍推导过程的时候，需要明白jensen不等式，他是一个关于凸函数的一个定理，直接上公式定义;

如果f是凸函数，X是随机变量，那么

      

      特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

      这里我们将简写为。

      如果用图表示会很清晰：

      

这里需要解释的是E(X)的值为什么是（a+b）/2，因为有0.5 的概率是a，0.5的概率是b，于是他的期望就是a,b的和的中间值了。同理在y轴上的值也是如此。

EM算法的公式表达形式

EM算法转化为公式的表达形式为：

      给定的训练样本是，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：

      

然后对这个公式做一点变化，就可以用上jensen不等式了，神奇的一笔来了：

可以由前面阐述的内容得到下面的公式：

      

      （1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式。对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是。于是就来到了问题的关键，通过上面的不等式，我们就可以确定式子的下界，然后我们就可以不断的提高此下界达到逼近最后真实值的目的值，那么什么时候达到想到的时候呢，没错，就是这个不等式变成等式的时候，然后再依据之前描述的jensen不等式的说明，当不等式变为等式的时候，当且仅当，也就是说X是常量，推出就是下面的公式：

     再推导下，由于（因为Q是随机变量z⁽ⁱ⁾的概率密度函数），则可以得到：分子的和等于c（分子分母都对所有z⁽ⁱ⁾求和：多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），再次继续推导;

      

最后就得出了EM算法的一般过程了：

循环重复直到收敛

      （E步）对于每一个i，计算

                  

      （M步）计算

                  

也许你看完这个数学推导的过程已经开始头昏了，没有关系，下面给出一个实例，让大家真切的感受一下EM算法的神奇。

EM算法的模糊聚类实现

在这里我会给出一个自己实现的基于EM算法的计算模糊聚类。

输入测试的数据文件，里面包含了a-f 7个点坐标：

3 34 109 614 818 1121 7

开始时默认簇中心点C1, C2为a和b。这就算是参数的初始赋值，然后是主要的操作;

1、E-Step:期望步根据当前的的模糊聚类或概率簇的参数，把对象指派到簇中。

2、M-Step:最大化步发现新的聚类或参数，最小化模糊聚类的SSE(对象的误差平方和，这个在程序中会有所体现)。在M步中会用到这个公式，根据划分矩阵重新调整计算簇的中心。

最后的收敛条件为，计算出的簇中心点的坐标的横纵坐标轴的误差和不超过1.0，意味着基本不再变化了。
主程序类：

package DataMining_EM;import java.io.BufferedReader;import java.io.File;import java.io.FileReader;import java.io.IOException;import java.text.MessageFormat;import java.util.ArrayList;/** * EM最大期望算法工具类 *  * @author lyq *  */public class EMTool {// 测试数据文件地址private String dataFilePath;// 测试坐标点数据private String[][] data;// 测试坐标点数据列表private ArrayList<Point> pointArray;// 目标C1点private Point p1;// 目标C2点private Point p2;public EMTool(String dataFilePath) {this.dataFilePath = dataFilePath;pointArray = new ArrayList<>();}/** * 从文件中读取数据 */public void readDataFile() {File file = new File(dataFilePath);ArrayList<String[]> dataArray = new ArrayList<String[]>();try {BufferedReader in = new BufferedReader(new FileReader(file));String str;String[] tempArray;while ((str = in.readLine()) != null) {tempArray = str.split(" ");dataArray.add(tempArray);}in.close();} catch (IOException e) {e.getStackTrace();}data = new String[dataArray.size()][];dataArray.toArray(data);// 开始时默认取头2个点作为2个簇中心p1 = new Point(Integer.parseInt(data[0][0]),Integer.parseInt(data[0][1]));p2 = new Point(Integer.parseInt(data[1][0]),Integer.parseInt(data[1][1]));Point p;for (String[] array : data) {// 将数据转换为对象加入列表方便计算p = new Point(Integer.parseInt(array[0]),Integer.parseInt(array[1]));pointArray.add(p);}}/** * 计算坐标点对于2个簇中心点的隶属度 *  * @param p *            待测试坐标点 */private void computeMemberShip(Point p) {// p点距离第一个簇中心点的距离double distance1 = 0;// p距离第二个中心点的距离double distance2 = 0;// 用欧式距离计算distance1 = Math.pow(p.getX() - p1.getX(), 2)+ Math.pow(p.getY() - p1.getY(), 2);distance2 = Math.pow(p.getX() - p2.getX(), 2)+ Math.pow(p.getY() - p2.getY(), 2);// 计算对于p1点的隶属度，与距离成反比关系，距离靠近越小，隶属度越大，所以要用大的distance2另外的距离来表示p.setMemberShip1(distance2 / (distance1 + distance2));// 计算对于p2点的隶属度p.setMemberShip2(distance1 / (distance1 + distance2));}/** * 执行期望最大化步骤 */public void exceptMaxStep() {// 新的优化过的簇中心点double p1X = 0;double p1Y = 0;double p2X = 0;double p2Y = 0;double temp1 = 0;double temp2 = 0;// 误差值double errorValue1 = 0;double errorValue2 = 0;// 上次更新的簇点坐标Point lastP1 = null;Point lastP2 = null;// 当开始计算的时候，或是中心点的误差值超过1的时候都需要再次迭代计算while (lastP1 == null || errorValue1 > 1.0 || errorValue2 > 1.0) {for (Point p : pointArray) {computeMemberShip(p);p1X += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1() * p.getX();p1Y += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1() * p.getY();temp1 += p.getMemberShip1() * p.getMemberShip1();p2X += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2() * p.getX();p2Y += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2() * p.getY();temp2 += p.getMemberShip2() * p.getMemberShip2();}lastP1 = new Point(p1.getX(), p1.getY());lastP2 = new Point(p2.getX(), p2.getY());// 套公式计算新的簇中心点坐标,最最大化处理p1.setX(p1X / temp1);p1.setY(p1Y / temp1);p2.setX(p2X / temp2);p2.setY(p2Y / temp2);errorValue1 = Math.abs(lastP1.getX() - p1.getX())+ Math.abs(lastP1.getY() - p1.getY());errorValue2 = Math.abs(lastP2.getX() - p2.getX())+ Math.abs(lastP2.getY() - p2.getY());}System.out.println(MessageFormat.format("簇中心节点p1({0}, {1}), p2({2}, {3})", p1.getX(), p1.getY(),p2.getX(), p2.getY()));}}

坐标点Point类：

/** * 坐标点类 *  * @author lyq *  */public class Point {// 坐标点横坐标private double x;// 坐标点纵坐标private double y;// 坐标点对于P1的隶属度private double memberShip1;// 坐标点对于P2的隶属度private double memberShip2;public Point(double d, double e) {this.x = d;this.y = e;}public double getX() {return x;}public void setX(double x) {this.x = x;}public double getY() {return y;}public void setY(double y) {this.y = y;}public double getMemberShip1() {return memberShip1;}public void setMemberShip1(double memberShip1) {this.memberShip1 = memberShip1;}public double getMemberShip2() {return memberShip2;}public void setMemberShip2(double memberShip2) {this.memberShip2 = memberShip2;}}

调用类;

/** * EM期望最大化算法场景调用类 * @author lyq * */public class Client {public static void main(String[] args){String filePath = "C:\\Users\\lyq\\Desktop\\icon\\input.txt";EMTool tool = new EMTool(filePath);tool.readDataFile();tool.exceptMaxStep();}}

输出结果：

簇中心节点p1(7.608, 5.907), p2(14.208, 8.745)

在这个程序中，隐藏变量就是簇中心点，通过不断的迭代计算，最终无限的接近真实值，相当有意思的算法。