数据挖掘十大算法---EM 期望最大算法

EM（Expectatioin-Maximalization）算法 即期望最大算法，被誉为是数据挖掘的十大算法之一。它是在概率模型中寻找参数最大似然估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测到的隐变量。最大期望算法经过两个步骤交替进行计算，第一步是计算期望（E），也就是将隐藏变量象能够观测到的一样包含在内，从而计算最大似然的期望值；另外一步是最大化（M），也就是最大化在 E 步上找到的最大似然的期望值从而计算参数的最大似然估计。M 步上找到的参数然后用于另外一个 E 步计算，这个过程不断交替进行。对于信息缺失的数据来说，EM算法是一种极有效的工具，我们先用一个简单例子来理解EM算法，并将其应用到GMM（高斯混合模型）中去。 

幼儿园里老师给a，b，c，d四个小朋友发糖吃，但老师有点偏心，不同小朋友得到糖的概率不同，p(a)=0.5, p(b)=miu, p(c)=2*miu, p(d)=0.5-3*miu 如果确定了参数miu，概率分布就知道了。我们可以通过观察样本数据来推测参数。设四人实际得到糖果数目为(a,b,c,d)，可以用ML（极大似然），估计出miu=(b+c)/6*(b+c+d)，假如某一天四个小朋友分别得到了(40,18,0,23)个糖。根据公式可求出miu为0.1。在信息完整条件下，ML方法是很容易估计参数的。 

假设情况再复杂一点：知道c和d二人得到的糖果数，也知道a与b二人的糖果数之和为h，如何来估计出参数miu呢？前面我们知道了，如果观察到a，b，c，d就可以用ML估计出miu。反之，如果miu已知，根据概率期望 a/b=0.5/miu，又有a+b=h。由两个式子可得到 a=0.5*h/(0.5+miu)和b=miu*h/(0.5+miu)。此时我们面临一个两难的境地，a，b需要miu才能求出来，miu需要a，b才能求出来。有点类似岸上的八戒和河里的沙僧的对话：你先上来，你先下来，你先上来...... 

那么一种思路就是一方先让一步，暂且先抛出一个随机的初值，然后用对方算出的数值反复迭代计算。直到计算结果收敛为止。这就是EM算法的思路，我们来看看用R来实现这种思路： 

# 已知条件 

h = 20c = 10d = 10 # 随机初始两个未知量miu = runif(1,0,1/6)b = round(runif(1,1,20)) iter = 1nonstop=TRUEwhile (nonstop) {    # E步骤，根据假设的miu来算b    b = c(b,miu[iter]*h/(0.5+miu[iter]))    # M步骤，根据上面算出的b再来计算miu    miu = c(miu,(b[iter+1] + c)/(6*(b[iter+1]+c+d)))    # 记录循环次数    iter = iter + 1    # 如果前后两次的计算结果差距很小则退出    nonstop = (miu[iter]-miu[iter-1]>10^(-4))}print(cbind(miu,b))当循环到第四次时结果已经收敛，miu为0.094，b为3.18

EM算法在高斯混合模型GMM(Gaussian Mixture Model )中有很重要的用途。简单来讲GMM就是一些高斯分布的组合。如果我们已知观测到的数据的类别，则可以根据ML来估计出GMM的参数。反之，对于没有类别信息一堆数据，如果我们已知GMM的参数，可以很容易用贝叶斯公式将它们归入不同的类中；但尴尬的问题是我们即不知道GMM参数，也不知道观测数据的类别。以下面生成的一维数据为例，我们希望找到这两个高斯分布的参数，同时为这些数据分类。

# 设置模拟参数miu1 <- 3miu2 <- -2sigma1 <- 1sigma2 <- 2alpha1 <- 0.4alpha2 <- 0.6# 生成两种高斯分布的样本n <- 5000x <- rep(0,n)n1 <- floor(n*alpha1)n2 <- n - n1x[1:n1] <- rnorm(n1)*sigma1 + miu1x[(n1+1):n] <- rnorm(n2)*sigma2 + miu2hist(x,freq=F)lines(density(x),col='red')

下面用EM算法来估计GMM的参数。# 设置初始值m <- 2miu <- runif(m)sigma <- runif(m)alpha <- c(0.2,0.8)prob <- matrix(rep(0,n*m),ncol=m) for (step in 1:100){    # E步骤    for (j in 1:m){        prob[,j]<- sapply(x,dnorm,miu[j],sigma[j])    }    sumprob <- rowSums(prob)    prob<- prob/sumprob     oldmiu <- miu    oldsigma <- sigma    oldalpha <- alpha     # M步骤    for (j in 1:m){        p1 <- sum(prob[ ,j])        p2 <- sum(prob[ ,j]*x)        miu[j] <- p2/p1        alpha[j] <- p1/n        p3 <- sum(prob[ ,j]*(x-miu[j])^2)        sigma[j] <- sqrt(p3/p1)    }     # 变化    epsilo <- 1e-4    if (sum(abs(miu-oldmiu))<epsilo &        sum(abs(sigma-oldsigma))<epsilo &        sum(abs(alpha-oldalpha))<epsilo) break    cat('step',step,'miu',miu,'sigma',sigma,'alpha',alpha,'\n')}在33次循环之后运算结果趋于稳定，估计的miu为（-2.2，2.8），sigma为（1.82，1.14）

GMM 模型常用于基于模型的聚类分析，GMM中的每一个高斯分布都可以代表数据的一类，整个数据就是多个高斯分布的混合。在R中的mclust包中的Mclust函数可以用来进行基于GMM的聚类分析。下面即是以最常用的iris数据集为例，聚类结果生成的图形就是文章的第一幅图：library(mclust)mc <-  Mclust(iris[,1:4], 3)plot(mc, data=iris[,1:4], what="classification",dimens=c(3,4))table(iris$Species, mc$classification)