Web地图理论

墨卡托投影（Mercator Projection），又名“等角正轴圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Mercator）在1569年拟定，假设地球被围在一个中空的圆柱里，其赤道与圆柱相接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅标准纬线为零度（即赤道）的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

一、墨卡托投影坐标系（Mercator Projection）
　　墨卡托投影以整个世界范围，赤道作为标准纬线，本初子午线作为中央经线，两者交点为坐标原点，向东向北为正，向西向南为负。南北极在地图的正下、上方，而东西方向处于地图的正右、左。 
　　由于Mercator Projection在两极附近是趋于无限值得，因此它并没完整展现了整个世界，地图上最高纬度是85.05度。为了简化计算，我们采用球形映射，而不是椭球体形状。虽然采用Mercator Projection只是为了方便展示地图，需要知道的是，这种映射会给Y轴方向带来0.33%的误差。
由于赤道半径为6378137米，则赤道周长为2*PI*r = 2*20037508.3427892，因此X轴的取值范围：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。当纬度φ接近两极，即90°时，Y值趋向于无穷。因此通常把Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间。因此在墨卡托投影坐标系（米）下的坐标范围是：最小为(-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 坐标为(20037508.3427892, 20037508.3427892)。

二、地理坐标系（Geographical coordinates）
　　地理经度的取值范围是[-180,180]，纬度不可能到达90°，通过纬度取值范围为[20037508.3427892,20037508.3427892]反计算可得到纬度值为85.05112877980659。因此纬度取值范围是[-85.05112877980659，85.05112877980659]。因此，地理坐标系（经纬度）对应的范围是：最小地理坐标(-180,-85.05112877980659)，最大地理坐标(180, 85.05112877980659)。 

三、地面分辨率（Ground Resolution）
　　地面分辨率是以一个像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以微软Bing Maps为例，当Level为1时，图片大小为512*512（4个Tile），那么赤道空间分辨率为：赤道周长/512。其他纬度的空间分辨率则为 纬度圈长度/512，极端的北极则为0。Level为2时，赤道的空间分辨率为 赤道周长/1024，其他纬度为 纬度圈长度1024。很明显，Ground Resolution取决于两个参数，缩放级别Level和纬度latitude ，Level决定像素的多少，latitude决定地面距离的长短。
　　地面分辨率的公式为，单位：米/像素：
　　ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2level pixels)　　

　　最低地图放大级别（1级），地图是512 x 512像素。每下一个放大级别，地图的高度和宽度分别乘于2：2级是1024 x 1024像素，3级是2048 x 2048像素，4级是4096 x 4096像素，等等。通常而言，地图的宽度和高度可以由以下式子计算得到：map width = map height = 256 * 2^level pixels

四、地图比例尺（Map Scale）
　　地图比例尺是指测量相同目标时，地图上距离与实际距离的比例。通过地图分辨率在计算可知由Level可得到图片的像素大小，那么需要把其转换为以米为单位的距离，涉及到DPI（dot per inch），暂时可理解为类似的PPI（pixelper inch），即每英寸代表多少个像素。256 * 2level / DPI 即得到相应的英寸inch，再把英寸inch除以0.0254转换为米。实地距离仍旧是：cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters; 因此比例尺的公式为：
　　map scale = 256 * 2level / screen dpi / 0.0254 / (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137)
　　比例尺= 1 : (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * screen dpi) / (256 * 2level * 0.0254)

　　地面分辨率和地图比例尺之间的关系：
　　map scale = 1 : ground resolution * screen dpi / 0.0254 meters/inch 
缩放级别
地图宽度、高度(像素)
地面分辨率(米/像素)
地图比例尺(以96dpi为例)
1
512
78,271.5170
1 : 295,829,355.45
2
1,024
39,135.7585
1 : 147,914,677.73
3
2,048
19,567.8792
1 : 73,957,338.86
4
4,096
9,783.9396
1 : 36,978,669.43
5
8,192
4,891.9698
1 : 18,489,334.72
6
16,384
2,445.9849
1 : 9,244,667.36
7
32,768
1,222.9925
1 : 4,622,333.68
8
65,536
611.4962
1 : 2,311,166.84
9
131,072
305.7481
1 : 1,155,583.42
10
262,144
152.8741
1 : 577,791.71
11
524,288
76.4370
1 : 288,895.85
12
1,048,576
38.2185
1 : 144,447.93
13
2,097,152
19.1093
1 : 72,223.96
14
4,194,304
9.5546
1 : 36,111.98
15
8,388,608
4.7773
1 : 18,055.99
16
16,777,216
2.3887
1 : 9,028.00
17
33,554,432
1.1943
1 : 4,514.00
18
67,108,864
0.5972
1 : 2,257.00
19
134,217,728
0.2986
1 : 1,128.50
20
268,435,456
0.1493
1 : 564.25
21
536,870,912
0.0746
1 : 282.12
22
1,073,741,824
0.0373
1 : 141.06
23
2,147,483,648
0.0187
1 : 70.53


五、Bing Maps像素坐标系和地图图片编码
　　为了优化地图系统性能，提高地图下载和显示速度，所有地图都被分割成256 x 256像素大小的正方形小块。由于在每个放大级别下的像素数量都不一样，因此地图图片（Tile）的数量也不一样。每个tile都有一个XY坐标值，从左上角的(0, 0)至右下角的(2^level–1, 2^level–1)。例如在3级放大级别下，所有tile的坐标值范围为(0, 0)至(7, 7)，如下图：

　已知一个像素的XY坐标值时，我们很容易得到这个像素所在的Tile的XY坐标值：
　　　　tileX = floor(pixelX / 256)　　tileY = floor(pixelY / 256)

　　为了简化索引和存储地图图片，每个tile的二维XY值被转换成一维字串，即四叉树键值（quardtree key，简称quadkey）。每个quadkey独立对应某个放大级别下的一个tile，并且它可以被用作数据库中B-tree索引值。为了将坐标值转换成quadkey，需要将Y和X坐标二进制值交错组合，并转换成4进制值及对应的字符串。例如，假设在放大级别为3时，tile的XY坐标值为（3，5），quadkey计算如下:
　　tileX = 3 = 011（二进制）
　　tileY = 5 = 101（二进制）
　　quadkey = 100111（二进制） = 213（四进制） = “213”
　　Quadkey还有其他一些有意思的特性。第一，quadkey的长度等于该tile所对应的放大级别；第二，每个tile的quadkey的前几位和其父tile（上一放大级别所对应的tile）的quadkey相同，下图中，tile 2是tile 20至23的父tile，tile 13是tile 130至133的父级：

最后，quadkey提供的一维索引值通常显示了两个tile在XY坐标系中的相似性。换句话说，两个相邻的tile对应的quadkey非常接近。这对于优化数据库的性能非常重要，因为相邻的tile通常被同时请求显示，因此可以将这些tile存放在相同的磁盘区域中，以减少磁盘的读取次数。

　　下面是微软Bing Maps的TileSystem相关算法：

using System;using System.Text;namespace Microsoft.MapPoint{static class TileSystem{private const double EarthRadius = 6378137;private const double MinLatitude = -85.05112878;private const double MaxLatitude = 85.05112878;private const double MinLongitude = -180;private const double MaxLongitude = 180;/// <summary>/// Clips a number to the specified minimum and maximum values./// </summary>/// <param name="n">The number to clip.</param>/// <param name="minValue">Minimum allowable value.</param>/// <param name="maxValue">Maximum allowable value.</param>/// <returns>The clipped value.</returns>private static double Clip(double n, double minValue, double maxValue){return Math.Min(Math.Max(n, minValue), maxValue);}/// <summary>/// Determines the map width and height (in pixels) at a specified level/// of detail./// </summary>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <returns>The map width and height in pixels.</returns>public static uint MapSize(int levelOfDetail){return (uint) 256 << levelOfDetail;}/// <summary>/// Determines the ground resolution (in meters per pixel) at a specified/// latitude and level of detail./// </summary>/// <param name="latitude">Latitude (in degrees) at which to measure the/// ground resolution.</param>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <returns>The ground resolution, in meters per pixel.</returns>public static double GroundResolution(double latitude, int levelOfDetail){latitude = Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);return Math.Cos(latitude * Math.PI / 180) * 2 * Math.PI * EarthRadius / MapSize(levelOfDetail);}/// <summary>/// Determines the map scale at a specified latitude, level of detail,/// and screen resolution./// </summary>/// <param name="latitude">Latitude (in degrees) at which to measure the/// map scale.</param>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <param name="screenDpi">Resolution of the screen, in dots per inch.</param>/// <returns>The map scale, expressed as the denominator N of the ratio 1 : N.</returns>public static double MapScale(double latitude, int levelOfDetail, int screenDpi){return GroundResolution(latitude, levelOfDetail) * screenDpi / 0.0254;}/// <summary>/// Converts a point from latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees)/// into pixel XY coordinates at a specified level of detail./// </summary>/// <param name="latitude">Latitude of the point, in degrees.</param>/// <param name="longitude">Longitude of the point, in degrees.</param>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <param name="pixelX">Output parameter receiving the X coordinate in pixels.</param>/// <param name="pixelY">Output parameter receiving the Y coordinate in pixels.</param>public static void LatLongToPixelXY(double latitude, double longitude, int levelOfDetail, out int pixelX, out int pixelY){latitude = Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);longitude = Clip(longitude, MinLongitude, MaxLongitude);double x = (longitude + 180) / 360; double sinLatitude = Math.Sin(latitude * Math.PI / 180);double y = 0.5 - Math.Log((1 + sinLatitude) / (1 - sinLatitude)) / (4 * Math.PI);uint mapSize = MapSize(levelOfDetail);pixelX = (int) Clip(x * mapSize + 0.5, 0, mapSize - 1);pixelY = (int) Clip(y * mapSize + 0.5, 0, mapSize - 1);}/// <summary>/// Converts a pixel from pixel XY coordinates at a specified level of detail/// into latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees)./// </summary>/// <param name="pixelX">X coordinate of the point, in pixels.</param>/// <param name="pixelY">Y coordinates of the point, in pixels.</param>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <param name="latitude">Output parameter receiving the latitude in degrees.</param>/// <param name="longitude">Output parameter receiving the longitude in degrees.</param>public static void PixelXYToLatLong(int pixelX, int pixelY, int levelOfDetail, out double latitude, out double longitude){double mapSize = MapSize(levelOfDetail);double x = (Clip(pixelX, 0, mapSize - 1) / mapSize) - 0.5;double y = 0.5 - (Clip(pixelY, 0, mapSize - 1) / mapSize);latitude = 90 - 360 * Math.Atan(Math.Exp(-y * 2 * Math.PI)) / Math.PI;longitude = 360 * x;}/// <summary>/// Converts pixel XY coordinates into tile XY coordinates of the tile containing/// the specified pixel./// </summary>/// <param name="pixelX">Pixel X coordinate.</param>/// <param name="pixelY">Pixel Y coordinate.</param>/// <param name="tileX">Output parameter receiving the tile X coordinate.</param>/// <param name="tileY">Output parameter receiving the tile Y coordinate.</param>public static void PixelXYToTileXY(int pixelX, int pixelY, out int tileX, out int tileY){tileX = pixelX / 256;tileY = pixelY / 256;}/// <summary>/// Converts tile XY coordinates into pixel XY coordinates of the upper-left pixel/// of the specified tile./// </summary>/// <param name="tileX">Tile X coordinate.</param>/// <param name="tileY">Tile Y coordinate.</param>/// <param name="pixelX">Output parameter receiving the pixel X coordinate.</param>/// <param name="pixelY">Output parameter receiving the pixel Y coordinate.</param>public static void TileXYToPixelXY(int tileX, int tileY, out int pixelX, out int pixelY){pixelX = tileX * 256;pixelY = tileY * 256;}/// <summary>/// Converts tile XY coordinates into a QuadKey at a specified level of detail./// </summary>/// <param name="tileX">Tile X coordinate.</param>/// <param name="tileY">Tile Y coordinate.</param>/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)/// to 23 (highest detail).</param>/// <returns>A string containing the QuadKey.</returns>public static string TileXYToQuadKey(int tileX, int tileY, int levelOfDetail){StringBuilder quadKey = new StringBuilder();for (int i = levelOfDetail; i > 0; i--){char digit = '0';int mask = 1 << (i - 1);if ((tileX & mask) != 0){digit++;}if ((tileY & mask) != 0){digit++;digit++;}quadKey.Append(digit);}return quadKey.ToString();}/// <summary>/// Converts a QuadKey into tile XY coordinates./// </summary>/// <param name="quadKey">QuadKey of the tile.</param>/// <param name="tileX">Output parameter receiving the tile X coordinate.</param>/// <param name="tileY">Output parameter receiving the tile Y coordinate.</param>/// <param name="levelOfDetail">Output parameter receiving the level of detail.</param>public static void QuadKeyToTileXY(string quadKey, out int tileX, out int tileY, out int levelOfDetail){tileX = tileY = 0;levelOfDetail = quadKey.Length;for (int i = levelOfDetail; i > 0; i--){int mask = 1 << (i - 1);switch (quadKey[levelOfDetail - i]){case '0':break;case '1':tileX |= mask;break;case '2':tileY |= mask;break;case '3':tileX |= mask;tileY |= mask;break;default:throw new ArgumentException("Invalid QuadKey digit sequence.");}}}}}