小波分析里，很容易混淆的一个概念就是小波函数（wavelet function）和尺度函数（scaling function）的关系。本文将不涉及小波分析的由来及发展历史，也不谈小波分析应用，本文主要目标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系，同时也解释一些小波分析中的其他必要相关概念。当然，要更好理解小波分析，一些傅里叶变换的知识是必要的。
我们知道，傅里叶变换分三种不同但又紧密相连的形式：
1，积分傅里叶变换，时域频域都连续；
2，傅里叶级数展开，时域连续，频域离散；
3，离散傅里叶变换，时域频域都离散。
同样，在小波分析中，也有三种类似的形式。积分（连续）小波变换（CWT），小波级数展开，以及离散小波变换（DWT）。
先看看连续小波变换，连续小波正变换为[1]：
（1
）逆变换为：
（2
）其中*号表示复共轭，
为小波基函数（basis function）。
不同小波基函数，都是由同一个基本小波（basic wavelet）ψ(t)，经缩放和平移生成，即：
（3
）傅里叶变换把一个信号f(t)分解为一系列不同频率正弦型信号的叠加，而傅里叶变换系数就代表不同正弦型信号的幅值。其中，所有正弦型基函数都由傅里叶基函数生成。类似于傅里叶基函数，所有小波基函数也由同一个基本小波生成[2]。不同的是，傅里叶基函数是固定的正弦型信号，而基本小波并未指定，需要根据实际的信号形式，在满足基本小波约束条件下进行设计。
可以看到，连续小波变换采用积分形式，而实际应用中，我们计算的都是采样后的信号，也需要通过离散形式来处理和表达，所以更加有用的是时域频域都离散的DWT，离散小波变换。但是离散小波变换的计算将引入三个问题：
1，数据冗余。观察式（1），可以看到，小波变换将一个一维信号变换为二维小波系数。同样，若信号是二维，变换后将得到三维小波系数。这反映了小波变换的优点，变换不仅具有傅里叶变换的频域分辨率，同时具有了时域或空域分辨率。但是一维信号用二维系数来表达，这就意味着必然有很大的冗余性。
2，与数据冗余紧密相连的就是CWT中无限数量小波的问题。从式（3）中看出，即使我们把平移量τ 和缩放量s都离散化，仍将是一个无限的序列，无法实际应用。矩阵形式表达这个问题就是y=Wx，W为小波基函数矩阵，x为小波系数，y为离散信号向量。这种冗余性表现之一就是W中列数远多于行数。相比较，傅里叶变换中的W为一个正交归一矩阵。
3，对大多数信号来说，小波变换得不到解析解，所以只能通过数值算法得到。这样，就需要一个快速计算方法，来进行小波信号分解（decomposition）。
第一个问题，可以通过引入二进小波（Dyadic wavelet）来解决。二进小波，把由基本小波生成小波基函数的方式表达为：
（4
）式中j决定缩放，k决定平移幅度。这样得到的二进形式小波基函数。但是问题并没有解决，这样的小波基函数，仍然在j和k两个维度上无限延伸。所以我们进一步引入紧支二进小波（compact dyadic wavelets）的概念。
如果把函数f(t)和基本小波限制为仅在[0,1]区间内有非零值，在[0,1]区间外为零的函数（解释：如果f(t)不满足此条件，可以通过对f(t)的缩放平移，使其满足，然后再设计相应的基本小波。关于为什么强加这样一个区间限制，将在后面讲述）。紧支二进小波表达为：
（5
）其中，
。j是满足
的最大整数。比如n=3时对应着j=1且k=1。相应的函数的表达改为：
（6
）
这样在小波变换后就不会出现增维现象。但是仍然没有解决无限系数的问题。于是在解决后两个问题的过程中，引入了尺度函数。不过在讨论尺度函数之前，还需要解释其他几个相关概念，包括滤波器族（Filter Bank），子带编码（Subband Coding），多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）。
滤波器族：
下图是一系列带通滤波器的频域图。
图（1）
一个信号离散信号x(n)经过这一系列带通滤波器滤波后，将得到一组系数Vi(n)。如下图所示：
图（2）
这样，我们就把一个信号分解成了不同频率的分量。只要这些带通滤波器的频率能够覆盖整个原信号x(n)的频谱范围，反变换时，把这些不同频率信号，按其分量大小组合起来，就可得到原信号x(n)。这样一组带通滤波器就称为滤波器族。
滤波器族能实现将信号分为不同频率分量，从而实现分解信号并分析信号的目的。但是在滤波器族的计算中，我们需要指定频域分割方式。研究者们给出了一种分割方式，即均分法，从而引出了子带编码的概念。
子带编码：
子带编码通过使用均分频域的滤波器，将信号分解为若干个子带[2]。这样是可以实现无冗余且无误差地对数据分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分为2个子带，可以实现更高效的分解效率。从而引入了多分辨率分析（MRA）。
多分辨率分析：
如果子带编码时将信号带宽先对分为高通（实际为带通）和低通两个部分，对应于两个滤波器。然后对低通部分继续等分。下图为子带编码示意图。
图（3）
从图中看出，每次分割保留高通部分的滤波结果，因为这里已经是信号的细节了，而且通常我们分析的信号，其绝大部分能量都在低频部分。所以高频部分的分割可以到此为止，但是低通部分仍然有更多的细节可以划分划分出来，所以将低通部分继续等分。分割迭代进行。
这样做的优点是，我们只需要设计两个滤波器，然后每次迭代将其对分。缺点是，频域的分割方式确定。对于某些信号来说，这样的划分并不是最优的。同时，可以看到，我们上面说的二进小波，使用的正是这样一种多分辨率分析方式。根据傅里叶变换的相似性定理：
（7
）则随着式（5）中n的增大，缩放尺度j在增大，此时时域的函数将被压窄，同时对应的频域傅氏变换将带宽加倍同时中心频谱位置也加倍。可由下图表明。图中为j在逐渐增大过程中，对应频谱发生的改变[1]。
图（4）
这里仍然有个问题。每次都将频谱分为剩下的一半，那实际上，我们永远也取不到整个频段。就好比一杯水，每次都只许喝一半，那将永远无法把它完全喝完（除非喝到了原子级别，无法再分为一半）。所以，这样分割后的函数仍然是无限多的。为解决这个问题，终于引出了我们最初想讨论的尺度函数的概念。（由于博客字数限制，尺度函数在中下篇里介绍）
Reference：
[1].A Really Friendly Guide to Wavelets.http://polyvalens.pagesperso-orange.fr/clemens/wavelets/wavelets.html#section7
[2].Kenneth R. Castleman. Digital Image Processing。
[3].Wavelets for Kids. www.diku.dk/~jda/biosignal/kidsA.pdf
[4] A Albert Boggess Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis。
