小波分析和尺度函数（下）

小波分析和尺度函数（下篇）  

2011-08-28 21:37:05|  分类： 纸上谈兵|举报|字号 订阅

（接中篇）

这样，在计算DWT时，我们就有两种方法：

1，构造出尺度函数和所有小波函数，通过式（8）直接计算。

2，设计低通滤波器h(k)，利用鱼骨型算法迭代计算。

其中方法2中，只需要设计出一个低通滤波器h(k)，而方法1需要计算出所有小波函数。而且方法2计算过程明确，所以，实际中常常应用方法2来计算离散小波变换。

到这里，我们必须讲讲以上两种计算方法的联系，尤其是尺度向量h(k)和尺度函数的关系。事实上，如我们可以预料到的，知道尺度向量h(k)，我们就可以根据h(k)构造出g(k)，同时也也能构造出尺度函数φ(x)，并利用尺度函数构造出基本小波ψ(x)。同样地，如果已经知道尺度函数φ(x)，也可以构造出其他所有信息。

这里顺便说一下，小波函数通常叫做小波族，英文能更好的反映这个称呼，叫做wavelet family。其中，尺度函数叫做father wavelet，基本小波叫做mother wavelet。正说明了这种，通过尺度函数和基本小波，可以得到所有小波函数序列的关系。

接下来，我们先说说由尺度向量构造尺度函数的过程。这里，需要引入哈尔尺度函数（Haar Scaling Function）。Haar尺度函数是数学家Haar在1910年提出来的，非常简单，是一个[0,1]区间内为1，区间外取0的函数，表达如下

（15）

而尺度函数应该满足三个条件：

 

如果尺度向量也满足一定约束条件时[4]（page 216），假设φ₀(x)是Haar尺度函数，则令

（16）

当n→∞时，φ_n(x)收敛至φ(x)，且φ(x)满足尺度函数条件，也就是说，该极限值就是我们要求的尺度函数。

一个很好的例子就是鼎鼎大名的Daubechies小波。她计算出的一组尺度向量值为：

利用这组尺度向量值，并根据上述所讲的过程求尺度函数，得到Daubechies尺度函数，如图（貌似图中的是Dau 12，不是Dau 4，不过Dau 4图也类似）： 

 图（6）

同时，也可以根据尺度函数h(k)计算出g(k)。

(17)

具体推导过程，参看[2]。而有了尺度函数和高通滤波器g(k)后，就可以计算出基本小波。从图（4）中看出，基本小波是由尺度函数频谱向右平移整个尺度函数带宽得到。计算结果：

(18)

这样就得到了所有信息。从这里以及以上Daubechies的尺度向量可以看出，仅仅区区几个值（Daubechies 4中为4个值），我们就可以算出尺度函数，小波函数等所有信息。这就是为什么之前说尺度向量是传说中神奇的尺度向量。

当已知尺度函数，求尺度向量时，可根据下式进行[2]：

(19)

到这里，我觉得我想讲的已经都解释清楚了。关于一些公式的推导，本文中没有涉及，若感兴趣需要自己去资料里找。

Reference：

[1].A Really Friendly Guide to Wavelets.http://polyvalens.pagesperso-orange.fr/clemens/wavelets/wavelets.html#section7

[2].Kenneth R. Castleman. Digital Image Processing。

[3].Wavelets for Kids. www.diku.dk/~jda/biosignal/kidsA.pdf

[4] A Albert Boggess Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis。

http://www.kunli.info/2011/02/15/fourier-wavelet-motion-signal-1/