ACM--steps--2.1.7--欧拉函数

来源：互联网发布：电脑阅卷软件编辑：程序博客网时间：2024/06/09 20:10

找新朋友

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Problem Description

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

Sample Input

22560824027

Sample Output

768016016

Author

SmallBeer(CML)

Source

杭电ACM集训队训练赛（VII）

欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).

     因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:
                     k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
    可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
               =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);------------->(1)
               =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)--------------------------->(2)
     ps：在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

在程序计算中，运用的是第一个通式。

程序判断中，循环判断只进行到了sqrt(a),
因数都是成对出现的。比如，100的因数有：1和100，2和50，4和25，5和20，10和10。看出来没有？成对的因数，其中一个必然小于等于100的开平方，另一个大于等于100的开平方。
当出现大于sqrt(a)的质因数时，循环已经进行到最后，将最后一个小于sqrt(a)的质因数取出后。

#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int Euler(int a){    int ans=a;    int i;//i表示a的质因子。    for(i=2;i<(int)sqrt(a)+1;i++)    {        if(a%i==0)        //欧拉函数的通式。        ans=ans*(i-1)/i;    //保证每次循环都是质因子。    //假设该数有因数2,4，4也可以分解2X2。    while(a%i==0)    {        a/=i;    }    }    //要考虑到最后剩下的那个因子，若是1则所有的质因数全部计算完，如没有，则应该加上最后那个质因数。    if(a>1)    {        ans=ans*(a-1)/a;    }    return ans;}int main(){    int T,n;    cin>>T;    while(T--)    {        cin>>n;        cout<<Euler(n)<<endl;    }    return 0;}<span style="color:#33ff33;"></span>

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