【SICP练习】13 练习1.19



练习1.19

题目中说道斐波那契数中将变换T的n次方应用于对偶（1，0）而产生出来，而现在将T看作T(pq)中p=0和q=1的特俗情况。因此对于对偶（a，b）来说，a—bq+a(p+q)，b—bp+aq。而对于T(pq)的平方也就是(T(pq))^2，就像之前的a中往b乘以q和往a乘以(p+q)，现在依旧是相当于a中往bp+aq乘以q（bp+aq为上一次迭代中的”b”），往(bq+a(p+q))中乘以(p+q)，同样的变换也发生在b中。依次对于T(pq)的平方来说，a—b(2pq+q*q)+a(p*p+q*q+2*p*q+q*q)，b—b(p*p+q*q)+a(2pq+q*q)。

而再次通过对比我们发现p’=p^2+q^2并且q’=2pq+q^2。

所以当N为偶数时，我们又可以通过应用变换T(p’q’)来减少计算T^N的一半计算量，因此在这种情况下就可以写出对数步数的斐波那契函数了。代码如下：

(define(fib n)

  (define (fib-iter a b p q n)

   (cond ((= n 0) b)

         ((even? n) (fib-iter a b (+ (squarep) (square q)) 

                           (+(* 2 p q) (square q)) (/ n 2)))

         ((odd? n) (fib-iter (+ (* b q) (* aq) (* a p))

                     (+ (* b p) (* a q)) p q(- n 1)))))

(fib-iter 1 0 0 1 n))

再来一次测试：

(fib 0)

;Value: 0

(fib 7)

;Value: 13