最小割 Stoer-Wagner 算法

转自：夜晚的虫子 http://blog.sina.com.cn/s/blog_700906660100v7vb.html

割：在一个图G（V，E）中V是点集，E是边集。在E中去掉一个边集C使得G（V，E-C）不连通，C就是图G（V，E）的一个割；

最小割：在G（V，E）的所有割中，边权总和最小的割就是最小割。

 

求G的任意s-t最小割Min-C（s，t）：

设s，t是途中的两个点且边（s，t）∈E（即s，t之间存在一条边）。如果G的最小割Cut把G分成M，N两个点集

①：如果s∈M，t∈N则Min-C（s，t）= Cut（不讨论）

②：如果s，t∈M（或者s，t∈N）则Min-C（s，t）<= Cut

 

我们来定义一个Contract(a,b)操作，即把a，b两个点合并，表示为删除节点b，把b的节点信息添加到a上

如下图是做了Contract（5,6）

对于所点v有w(v,5)+=w(v,6)

 

求s-t最小割的方法

定义w(A,x) = ∑w(v[i],x)，v[i]∈A

定义Ax为在x前加入A的所有点的集合（不包括x）

1.令集合A={a}，a为V中任意点

2.选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合

3.若|A|=|V|，结束，否则更新w(A,x)，转到2

令倒数第二个加入A的点为s，最后一个加入A的点为t，则s-t最小割为w(At,t)

 

以Poj (pku) 2914 Minimum Cut

的第三个case为例，图为  

G（V，E）

我们设法维护这样的一个w[]，初始化为0；

我们把V-A中的点中w[i]最大的点找出来加入A集合；

V-A直到为空

w[]的情况如下

w[i]

0

1

2

3

4

5

6

7

初始值

0

0

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

0

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

0

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

0

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

0

0

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

1

1

2

A=A∪{7}

 

 

 

 

 

2

2

---

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

3

 

A=A∪{6}

 

 

 

 

 

 

---

 

 

每次w[i]+=∑(i,a)的权值a∈A

记录最后加入A的节点为t=6，倒数第二个加入A的为s=5，则s-t的最小割就为w[s]，在图中体现出来的意思就是5-6的最小割为w[s]=3

然后我们做Contract(s,t)操作，得到下图

G(V’,E’)

重复上述操作 

w[i]

0

1

2

3

4

5

7

初始值

0

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

0

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

2

2

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

4

A=A∪{7}

 

 

 

 

 

 

---

s=5，t=7    s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

 

w[i]

0

1

2

3

4

5

初始值

0

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

0

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

0

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

0

A=A∪{3}

 

 

 

---

1

1

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

4

A=A∪{5}

 

 

 

 

 

---

s=4，t=5    s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

 

w[i]

0

1

2

3

4

初始值

0

0

0

0

0

A=A∪{0}

---

1

1

1

1

A=A∪{1}

 

---

2

2

1

A=A∪{2}

 

 

---

3

1

A=A∪{3}

 

 

 

---

2

A=A∪{4}

 

 

 

 

---

s=3，t=4    s-t最小割是2，（此时已经得出答案，以下省略）

AC代码:

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <queue> #define INT_MAX 0x3f3f3f3f using namespace std; int mp[502][502];int N,M;bool combine[502];int minC=INT_MAX; void search(int &s,int &t){    bool vis[502];    int w[502];    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(w,0,sizeof(w));    int tmpj=1000;    for(int i=0;i<N;i++){        int max=-INT_MAX;        for(int j=0;j<N;j++){            if(!vis[j]&&!combine[j]&&max<w[j]){                max=w[j];                tmpj=j;            }        }        if(t==tmpj){minC=w[t];return;}        vis[tmpj]=1;        s=t,t=tmpj;        for(int j=0;j<N;j++){            if(!vis[j]&&!combine[j])                w[j]+=mp[t][j];        }    }    minC=w[t];} int mincut(){    int ans=INT_MAX;    int s,t;    memset(combine,0,sizeof(combine));    for(int i=0;i<N-1;i++){        s=t=-1;        search(s,t);        combine[t]=true;        ans=ans>minC?minC:ans;        for(int j=0;j<N;j++){            mp[s][j]+=mp[t][j];            mp[j][s]+=mp[j][t];        }    }    return ans;} int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    while(cin>>N>>M){        memset(mp,0,sizeof(mp));        int u,v,w;        while(M--){            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);            mp[u][v]+=w;            mp[v][u]+=w;        }        cout<<mincut()<<endl;    }    return 0;}