排列数最后非零位：poj 1150 The Last Non-zero Digit

数论+组合数学（好题）

题目大意:
求排列数A（n,m）最后的非零数位

解题思路：
参考英文文献，多读几遍，豁然开朗，分析见功底。

http://www.cppblog.com/abilitytao/archive/2009/10/31/99907.html

大体思路是这样的。A(n,m)=n!/(n-m)!

首先是除去末尾的非零位，就要对每个阶乘素因子分解找到2,5的幂i,k，
求解思路详见本博客的数论部分，贴代码：

把阶乘n!和(n-m)!的2,5,幂找到相减即可。

接下来就是末尾数字的确定。

记pow_2表示分子减去分母后2的幂;
第一，考虑2,5的幂的影响，如果pow_5>pow_2，最后末位数字一定是5，return 5;如果pow_5==pow_2,末位数字是1；如果pow_5 小于pow_2,末位数字取决于2^d的末位数字（d=pow_2-pow_5），不用求出来，利用循环节（2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=6,2^5=2,……末位数字变化周期为4）
第二，考虑1,3,7,9的影响。首先应该清楚的是，因子除去所有2,5后末位数字只可能是1,3,7,9；同样利用循环节，只需计数3,7,9的数目即可。care that,我们并不是真的将n!去除2,5而是假设因子已经除去了所有的2,5。
问题的关键是如何计数3，7，9的数目。

这里非常巧妙的利用递归（数学上习惯叫递推公式）。
记f(n,x)表示数列1×2×3×4……×n结果的末位数字x的幂，或者理解为序列1,2,3,……n末位数字x的个数;g(n,x)表示小于等于n的奇数序列末位数字x出现的个数。揣摩递推公式
f(n,x)=f(n/2,x)+g(n,x) (1)
g(n,x)=n/10+(n%10>=x?:1:0)+g(n/5,x) (2)
对于（1）,以1，2,3,4,5,6，7,8,9,10为例，分奇数序列1,3,5,7,9和偶数序列2,4,6,8,10;奇数序列结果用g(n，x)计数，偶数序列/2 = 1,2,3,4,5正好等于<=5序列x的个数，用f(n/2)表示（n是偶数、奇数都满足，可以尝试一下）
对于（2）,也比较好理解，以g（27,3）为例，分为非5的倍数序列1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27和五的倍数序列5,15,25，后者/5=1,3,5即g（n/5,x）；前者中n/10表示循环了几次，循环一次有1个出现，当然还要判断当前循环虽然没有完成但可能达到x，（n%10>=x），满足就要计数+1,递归下去就是答案。

好了，看一下这连个递归程序吧~

最后累乘起来%10取个位就是所求结果。。

参考代码+部分注释：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <map>#include <vector>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 7e4+10;int table[4][4]={6,2,4,8,//注意%4结果与数组下标一一对应                 1,3,9,7,//3                 1,7,9,3,//5                 1,9,1,9,};//9int n,m;int getpow(int n,int p)//返回n!中质因子p的幂{    int q=p,res=0;    while(n>=q){res+=n/q;q*=p;}    return res;}int g(int n,int x)//小于等于n的奇数序列中x的幂（或x出现的次数）,递归实现（美妙）{    if(n==0) return 0;    return n/10+(n%10>=x?1:0)+g(n/5,x);//例如g(27,3),取十位数表明之前x循环出现2次，个位7>=3表示x又出现一次}int f(int n,int x)//小于等于n序列中x的幂（或x出现的次数），递归实现（美妙）{    if(n==0) return 0;    return f(n/2,x)+g(n,x);//偶数序列等价于f(n/2,x)奇数序列等价于g(n,x);}int solve(){   int ans=1;   /*****先处理2^i,5^k************/   int pow_2=getpow(n,2)-getpow(n-m,2);   int pow_5=getpow(n,5)-getpow(n-m,5);   if(pow_2<pow_5) return 5;          //如果是n!,i>k，这里是组合数不一定，要判断   else if(pow_2==pow_5) ans=1;   else ans*=table[0][(pow_2-pow_5)%4]; // cout<<getpow(n,5)<<endl; // cout<<getpow(n-m,5)<<endl; //   cout<<ans<<endl;   /*****再处理末尾3,5,9************///n!个位数除完所有2、5后末尾只可能是1,3,7,9   int pow_3=f(n,3)-f(n-m,3);   int pow_7=f(n,7)-f(n-m,7);   int pow_9=f(n,9)-f(n-m,9);   ans=(ans*table[1][pow_3%4])%10;   ans=(ans*table[2][pow_7%4])%10;   ans=(ans*table[3][pow_9%4])%10;   return ans;}int main(){   freopen("input.txt","r",stdin);   while(cin>>n>>m){    cout<<solve()<<endl;   }   return 0;}