单源最短路径之Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
算法思想：
设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
举个栗子：
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

步骤：
1.S集合中：选入A，此时S=<A>
                      此时最短路径A→A=0 以A为中间点，从A开始找
   U集合中：U=<B、C、D、E、F>
                      A→B=6，A→C=3， A→其它U中的顶点=∞， 发现A→C=3权值为最短
2.S集合中：选入C，此时S=<A、C>
                     此时最短路径A→A=0，A→C=3以C为中间点，从A→C=3这条最短路径开始找
  U集合中：U=<B、D、E、F>
                     A→C→B=5(比上面第一步的A→B=6要短) 此时到D权值更改为A→C→B=5， A→C→D=6， A→C→E=7， A→C→其它U中的顶点=∞，发现A→C→B=5权值为最短
3.S集合中：选入B，此时S=<A、C、B>
                    此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5 以B为中间点
  U集合中：U=<E、F>
                     A→C→D→E=8(比上面第二步的A→C→E=7要长)此时到E权值更改为A→C→E=7，A→C→D→F=9 发现A→C→E=7权值为最短从A→C→B=5这条最短路径开始找
4.S集合中：选入D，此时S=<A、C、B、D>
                     此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5，A→C→D=6 以D为中间点， 从A→C→D=6这条最短路径开始找
  U集合中：U=<E、F>
                     A→C→D→E=8(比上面第二步的A→C→E=7要长)此时到E权值更改为A→C→E=7，A→C→D→F=9 发现A→C→E=7权值为最短
5.S集合中：选入E，此时S=<A、C、B、D、E>
                      此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5，A→C→D=6，A→C→E=7，以E为中间点， 从A→C→E=7这条最短路径开始找
  U集合中：U=<F>
                     A→C→E→F=12(比上面第四步的A→C→D→F=9要长)此时到F权值更改为A→C→D→F=9 发现A→C→D→F=9权值为最短
6.S集合中：选入F，此时S=<A、C、B、D、E、F>
                      此时最短路径A→A=0，A→C=3， A→C→B=5， A→C→D=6， A→C→E=7，A→C→D→F=9
  U集合中：U集合已空，查找完毕。

code：

const int  MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int dist[MAXNUM];int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0){  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中      int n=MAXNUM;  　　for(int i=1; i<=n; ++i) 　　 {      　　dist[i] = A[v0][i];      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点      　　if(dist[i] == MAXINT)                　　prev[i] = -1; 　　     else             　　prev[i] = v0;   　　}   　 dist[v0] = 0;   　 S[v0] = true; 　　 　　 for(int i=2; i<=n; i++) 　　 {       　　int mindist = MAXINT;       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)      　　    {         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码          　 　      mindist = dist[j];       　　   }       　　S[u] = true;        　　for(int j=1; j<=n; j++)       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)       　　    {           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径             　    　{                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist                    　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点             　　    }        　    　}   　　}}