马的棋盘遍历的一个近似算法

 

马的棋盘遍历的近似算法

国际象棋中的马的遍历问题为：国际象棋中的马能否按照马步访问每一格点一次，最后再回到原地？由于国际象棋中的马又称为骑士，国际象棋中的马的遍历问题也称为骑士遍历问题。

在国际象棋棋盘中，骑士在选择下一个环游点时，共有8种可能的方案（如图所示）。除开其中已经游历的格点和棋盘外的格点，骑士一般还存在多种方案可供选择。对于每一个候选的格点，与之马步相连而还没有游历的棋盘内格点数是不相同的。如果骑士选择其中一个与外部联系最少的格点首先游历，那么，他有可能走的更远。因为对于当前与骑士马步相连的其它格点来说，由于它们与外界联系较多，以后还有机会通过其他格点进一步访问到，而对于与外界联系较少的格点，如果不立即访问，以后很难有机会进一步访问到。

                                         2                   1

 

                           3                                               0

 

                                                   *

 

                           4                                               7

 

 

                                         5                   6

形式化来看，假设一点（i,j）是否被访问用一个标记数组Travel[i][j]来表示，Travel[i][j]=1表示(i,j)已访问，Travel[i][j]=0表示(i,j)没被访问。对于一个格点(i,j)，与之相连的格点为(i+x,j+y)，其中x、y可能的组合如下：

 

             遍历点    0     1     2     3     4     5     6     7

              x             2     1     -1    -2    -2    -1    1     2

              y             1     2     2     1     -1    -2    -2    -1

 

处于(i,j)点的骑士下一个可能的遍历点构成的集合为

             P(i,j)={(i’,j’)|(i’,j’)与(i,j)马步相连，且Travel[i’][j’]=0，且(i’,j’)在棋盘内}

对于P(i,j)中的每一个元素(i’,j’)，计算P(i’,j’)中的元素个数，若其中某个(i”,j”)，P(i”,j”)中所含的元素个数最少，则选择(i”,j”)为下一个遍历点。

     骑士能走多远，很大程度上依赖于初始位置的选择。对于8×8的棋盘，初始位置可以为（0，0）、（0，1）、（0，2）、（0，3）、（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）和（3，3），由棋盘的对称性，选择其它格点作为初始点没有什么新鲜性。当然，由于在骑士选择下一步游历点时，满足条件的（i”,j”）可能不只一个，而在选择时又总是选其中编号最大或最小的格点，这实际上是为骑士的选择引入了某种方向性，也可以说带有了某种偏见，这种偏见会破坏初始点的对称性，即在棋盘对称的两个初始点，它们的解不是对称的。 

    为了避开这种偏见，也可以从满足条件的一系列点中进行随机选择。当然，也可以将这种思路与回溯法结合在一起使用。