UVA 10767-Barcelona’s trams（DP+数学推导）

题目大意：有一个列车，要走n个路段，每个路段有一定的长度。初始时，最大速度是M，每次在一个路段要开始的时候，司机可以选择一个速度，在(0,M]之间的任意值v。则发生冲突的概率是v/M，如果发生冲突，那么将会需要10秒恢复并且以恒定的速度5运行到这个路段完毕。并且如果发生冲突，M的值会少1（这样会对后面的路段有影响）。求运行完所有路段的最小花费时间。如果发生冲突，那么假设冲突在中点发生。还有些细节参考原题。。

逆序递推，用d[i][j]表示在第i个路段开始之前，M被减少了j次（即此时最大速度为M-j）的时候，最大的速度。

假设此时速度取x时，能得到时间的最小值。用s表示第i段的长度。可以得出：

d[i][j]=x/M*(s/2x+s/10+d[i+1][j+1]+10)+(1-x/M)*(s/x+d[i+1][j])

将这个式子化简可以得到：

d[i][j]=x*(s/10M+d[i+1][j+1]/M+10/M-d[i+1][j]/M)+s*(1/x)+d[i+1][j]-s/2M

问题很明了了，根据(s/10M+d[i+1][j+1]/M+10/M-d[i+1][j]/M)的正负性，要么是单调递减函数，要么是双钩函数。双钩函数时需要判断最值是否能取到。

求出最小值完成递推。

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>double a[30];double d[30][30];int main(void){int i,j,n;double u,v,p,m,M;while(scanf("%lf%d",&m,&n)==2){for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&a[i]);}for(j=n+1;j>=0;j--){d[n+1][j]=0;}for(i=n;i>=1;i--){for(j=i-1;j>=0;j--){M=m-j;u=(a[i]/10+d[i+1][j+1]+10-d[i+1][j])/M;v=a[i];p=d[i+1][j]-a[i]/(2*M);if((u<1e-10)||(sqrt(v/u)-M>1e-10)){d[i][j]=M*u+v/M+p;}else{d[i][j]=2*sqrt(u*v)+p;}}}printf("%.4f\n",d[1][0]);}return 0;}