BZOJ-3173-最长上升子序列

描述

给定一个序列，初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？

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分析

• 用 treap 就可以很方便地维护插入操作, 然后一遍 dfs 求出最后的序列
• 之后就是 lis 算法的拓展
  
  • lis 算法 nlogn 的解法 : (基于贪心和二分查找)
    用 lis[] 数组存一个上升的序列, 依次从序列中取出一个元素 x, 在lis中二分查找第一个大于它的元素(如果有)替换为 x, 如果 x 是最大的, 就插入到序列尾部.
    这样做的正确性就在于用 x 替换掉比它大的元素, 结果一定不会变差.
  • 本题解法 :
    因为有个很特殊的性质——第一个插入的一定是1, 第二个一定是2…第n个是n
    回顾lis中的操作, 在序列中取出 x, 如果序列尾的元素小于x, 那么序列中所有元素都既小于x又先于 x 被插入, 所以可判断在刚刚插入x时最长上升子序列长度就等于现在的序列的长度; 另一种情况, 如果序列尾元素大于x, 二分查找第一个大于x的元素, 用x替换它, 此时x之前的元素也满足了既小于x又先于 x 被插入, 以x结尾的序列的最长上升子序列的长度就是x的下标了. 但是, 插入x后最长上升子序列不一定以x结尾, 也就是最长上升子序列长度一定不会随插入元素增多而变短. 扫一遍结果维护一下就可以了.

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代码

https://code.csdn.net/snippets/609906