BZOJ 3833 [POI 2014] Solar Lamps 解题报告

相信大家都是看了题才来看题解的

所以我就不发题面了=_=

不如当一个萌萌哒链接菌吧=_=

毕竟我懒=_=

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Solution

卧槽。【总领全文，奠定感情基调】

首先我们可以进行坐标变换。

如果两个向量构成一组基底，

我们可以把平面内每个的坐标 (xi,yi) 变换成 (ai,bi)，

使得：

ai×x1+bi×x2=xi

ai×y1+bi×y2=yi

于是我们可以求得 ai 和 bi：

ai=xi×y2−yi×x2x1×y2−x2×y1

bi=xi×y1−yi×x1x1×y2−x2×y1

然后我们发现这些坐标都是分数，

而且最重要的是：分母都是一样的。

于是我们可以令所有的坐标都乘以这个分母（要保证乘的是正的数字）。

于是我们就可以离散化这些点的坐标，使得坐标范围变成一个(1,1)−(n,m)的矩阵。

于是再给点以 bi 为第一关键字，ai 为第二关键字排序，

并按照这个顺序处理那些点。

这样我们后面的点的 b 坐标就一定大于等于前面的点的 b 坐标，

就可以不用管这一维了，只用管 a 坐标了。

于是我们假设处理到第 i 个灯泡，

令 t 为以 (1,1) 为左下角，(ai,bi) 为右上角的矩阵中 Ans[] 第 K[i] 小的值。

那么 Ans[i]=min(i,t)。

特别的，如果那个矩阵中没有K[i]多灯泡，Ans[i]=i。

于是怎么维护呢？

【插入操作】

我们以时间为 Ans[] 第一关键字建立线段树，套上以 a 坐标为第二关键字的平衡树。

每次插入都会在 O(logn) 个线段树结点所套的平衡树中进行时间为 O(logn) 的插入操作，

于是插入操作的时间复杂度是 O(log2n) 的。

【查询操作】

怎么查询以 (1,1) 为左下角，(ai,bi) 为右上角的矩阵中 Ans[] 第 K[i] 小的值呢？

我们可以二分答案。

具体做法就是从线段树根结点开始，先看左儿子所套的平衡树里边 a 坐标小于等于 ai 的结点个数。

设有 u 个，那么就说明 Ans[] 在 [l,mid] 区间内的，

并且在以 (1,1) 为左下角，(ai,bi) 为右上角的矩阵中的点有 u 个。

如果 u≥K[i]，说明答案应该在 [l,mid] 之间，然后递归处理。

否则答案就应该在 [mid+1,r] 之间，然后递归处理。

直到 l=r 的时候，便可确定 Ans[i]=min(i,l)。

然后我们可以加上一个小优化：

如果递归处理到 [l,r] 的区间，并且有 l≥i，

那么直接返回 i，

因为 Ans[i]=min(i,l)，

如果可能的最小值都不比 i 小了，那么就没有做下去的必要了。

查询操作中，我们要访问 O(logn) 个线段树结点，在每个线段树节点中，都要 O(logn) 地查找相关点的个数。

所以查询操作的时间复杂度也是 O(log2n) 的。

然后有 O(n) 个灯泡，所以总时间复杂度是 O(nlog2n) 的。

每个灯泡的信息会被插入到 O(logn) 个线段树所套的平衡树里，

所以空间复杂度是 O(nlogn) 的。

如果写矩形树（二维线段树）的话空间复杂度就是 O(nlog2n) 的，承受不了。

所以才要写这种蛋疼的东西。。。

卧槽。【承上启下，推动情节发展】

等等。

我们好像忽略了一点：

如果灯的照射范围是一条线该怎么办。。。

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。。。

其实也比较好处理。

我们把另一个向量弄成垂直于当前的这条向量。

可以令 ：x2=−y1，y2=x1

然后也可以求出点的 a 坐标和 b 坐标，

只不过在查询的时候，我们找的就不是矩阵中点的个数，

而是某一条线段里边的点的个数了。

稍微处理一下就可以了。。。=_=

具体实现可以看我的代码。

卧槽。【总结全文，升华文章主旨】

毕竟 Gromah 太弱，只会做水题。

#include <cmath>#include <cstdio>#include <vector>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;#define N 200000 + 5#define M 524288 + 5#define SIZE 5000000 + 5#define ls(x) x << 1#define rs(x) x << 1 | 1int n, tot, Ord[N], Root[M], Ans[N], K[N];LL x_1, y_1, x_2, y_2, X[N], Y[N], _X[N], _Y[N];struct Data{    int l, r, fa, size, num, fix;}h[SIZE];inline void update(int x){    h[x].size = h[h[x].l].size + h[h[x].r].size + h[x].fix;}inline void zig(int x){    int y = h[x].fa, z = h[y].fa;    if (y == h[z].l) h[z].l = x;    if (y == h[z].r) h[z].r = x;    h[x].fa = z, h[y].fa = x;    h[y].l = h[x].r, h[h[x].r].fa = y, h[x].r = y;    update(y), update(x);}inline void zag(int x){    int y = h[x].fa, z = h[y].fa;    if (y == h[z].l) h[z].l = x;    if (y == h[z].r) h[z].r = x;    h[x].fa = z, h[y].fa = x;    h[y].r = h[x].l, h[h[x].l].fa = y, h[x].l = y;    update(y), update(x);}inline void Splay(int &root, int x){    while (h[x].fa)    {        int y = h[x].fa, z = h[y].fa;        if (x == h[y].l)        {            if (y == h[z].l) zig(y);            zig(x);        }        else        {            if (y == h[z].r) zag(y);            zag(x);        }    }    root = x;}inline void Insert(int &root, int u){    if (!root)    {        root = ++ tot;        h[tot].size = h[tot].fix = 1, h[tot].num = u;        return ;    }    int z, p = root;    while (p)    {        z = p;        h[z].size ++;        if (u == h[z].num)        {            h[z].fix ++;            return ;        }        if (u > h[z].num)            p = h[z].r;        else p = h[z].l;    }    h[++ tot].fix = 1;    h[tot].size = 1;    h[tot].num = u;    h[tot].fa = z;    if (u > h[z].num)        h[z].r = tot;    else h[z].l = tot;    Splay(root, tot);}inline int Find(int x, int k, bool op){    int res = 0;    while (1)    {        if (!x)        {            if (op) return 0;            break ;        }        if (k == h[x].num)        {            if (op) return h[x].fix;            res += h[h[x].l].size + h[x].fix;            break ;        }        else if (k > h[x].num)        {            res += h[h[x].l].size + h[x].fix;            x = h[x].r;        }        else x = h[x].l;    }    return res;}inline int Query(int x, int l, int r, int k, int lim, int Lim, bool op){    if (l >= Lim) return Lim;    if (l == r) return l;    int mid = l + r >> 1;    int t = Find(Root[ls(x)], lim, op);    if (k <= t)        return Query(ls(x), l, mid, k, lim, Lim, op);    else return Query(rs(x), mid + 1, r, k - t, lim, Lim, op);}inline void Modify(int x, int l, int r, int t, int k){    Insert(Root[x], k);    if (l == r) return ;    int mid = l + r >> 1;    if (t <= mid)        Modify(ls(x), l, mid, t, k);    else Modify(rs(x), mid + 1, r, t, k);}inline int getint(){    char ch = '\n';    for (; ch != '-' && (ch > '9' || ch < '0'); ch = getchar()) ;    int f = ch == '-' ? -1 : 1;    int res = ch == '-' ? 0 : ch - '0';    for (ch = getchar(); ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())        res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0';    return res * f;}inline bool cmp(int u, int v){    return X[u] < X[v] || (X[u] == X[v] && Y[u] < Y[v]);}inline void Solve(bool op){    if (op) x_2 = -y_1, y_2 = x_1;    int f = (x_2 * y_1 - x_1 * y_2 > 0) ? 1 : -1;    for (int i = 1; i <= n; i ++)    {        LL u = getint(), v = getint();        _X[i] = X[i] = (x_2 * v - y_2 * u) * f;        _Y[i] = Y[i] = (y_1 * u - x_1 * v) * f;    }    sort(_X + 1, _X + n + 1);    sort(_Y + 1, _Y + n + 1);    int sx = unique(_X + 1, _X + n + 1) - _X;    int sy = unique(_Y + 1, _Y + n + 1) - _Y;    for (int i = 1; i <= n; i ++)    {        int u = lower_bound(_X + 1, _X + sx, X[i]) - _X;        int v = lower_bound(_Y + 1, _Y + sy, Y[i]) - _Y;        X[i] = u, Y[i] = v;        Ord[i] = i, K[i] = getint();    }    sort(Ord + 1, Ord + n + 1, cmp);    for (int i = 1; i <= n; i ++)    {        int _i = Ord[i];        if (Find(Root[1], Y[_i], op) < K[_i]) Ans[_i] = _i;            else Ans[_i] = Query(1, 1, n, K[_i], Y[_i], _i, op);        Modify(1, 1, n, Ans[_i], Y[_i]);    }}int main(){    #ifndef ONLINE_JUDGE        freopen("3833.in", "r", stdin);        freopen("3833.out", "w", stdout);    #endif    n = getint();    x_1 = getint(), y_1 = getint();    x_2 = getint(), y_2 = getint();    Solve(x_1 * y_2 == x_2 * y_1);    for (int i = 1; i <= n; i ++)        printf("%d%c", Ans[i], " \n"[i == n]);    return 0;}