[BZOJ 1056][NOI 2009]管道取珠(DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566

思路

设上面的珠子序列是U，下面的是L，定义一个取珠子的操作序列的状态(i,j)表示上面的U取了i个，下面的L取了j个。那么∑a2i=对于两个不同的操作序列X、Y，它们最后取出的珠子序列是一样的，这样的有序对(X,Y)的个数。证明如下：
假如最终取出的珠子序列为A，它对应的操作序列个数为|Z|,也就是说ai=|Z|2，那么根据分步计数原理，上面说的(X,Y)的对数显然等于|Z|2，也就是ai=|Z|2，得证。

那么这个(X,Y)的对数也很好求。用f[i1][j1][i2][j2]来表示操作序列X的状态为(i1,j1),操作序列Y的状态为(i2,j2)，并且当前X、Y操作完以后取出来的珠子序列仍然是一样的(X,Y)方案数(就是按照上面说的来的)。DP方程也很好推，当前状态转移到下一状态后，两个操作序列各自增加的那个新柱子的颜色必须相同，DP方程如下。

以上图片转自https://www.byvoid.com/blog/noi-2009-ball/

最后的那个j2下标完全可以从前三个下标推出来，因此DP方程和DP过程都是三维的复杂度。

后记：
虽然这个题并不难，但是我WA了十多次，具体有很多细节需要注意：
1、输入了U、T序列后，记得把它们翻转一下，因为我们定义的输入的珠子序列，出口处的柱子在下标1的位置。
2、注意最后一个下标j2是从前三个下标推出来的，要判断j2是否合法。

代码

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#define MAXN 505#define MOD 1024523using namespace std;int n,m;//注：状态(i,j)表示上面的U取了i个，下面的L取了j个int f[MAXN][MAXN][MAXN]; //f[i1][j1][i2][j2]=X方法当前状态为(i1,j1)，Y方法当前状态为(i2,j2)，这样的有序对(X,Y)个数,j2=i1+j1-i2,因此j2状态可以略去char U[MAXN],L[MAXN];int add(int x,int y){    x+=y;    if(x>MOD) x-=MOD;    return x; //!!!!}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    scanf("%s+1",U+1); //!!!!    scanf("%s+1",L+1); //!!!!    reverse(U+1,U+n+1); //!!!!    reverse(L+1,L+m+1); //!!!!    f[0][0][0]=1;    for(int i=0;i<=n;i++)        for(int j=0;j<=m;j++)            for(int k=0;k<=n;k++)            {                int tmp=f[i][j][k],l=i+j-k; //X状态为(i,j),Y状态为(k,l)                if(!tmp||l<0||l>m) continue;                if(U[i+1]==U[k+1])                    f[i+1][j][k+1]=add(f[i+1][j][k+1],tmp);                if(U[i+1]==L[l+1])                    f[i+1][j][k]=add(f[i+1][j][k],tmp);                if(L[j+1]==U[k+1])                    f[i][j+1][k+1]=add(f[i][j+1][k+1],tmp);                if(L[j+1]==L[l+1])                    f[i][j+1][k]=add(f[i][j+1][k],tmp);            }    printf("%d\n",f[n][m][n]);    return 0;}