旋转变换的指数形式

看一篇英文文献，里面用到了一个绕空间三个坐标轴旋转的矩阵，原文说using the exponential representation for rotations，并直接给出了下面的公式

Ri=e[θi]×,[θi]×=⎡⎣⎢0θi3−θi2−θi30θi1θi2−θi10⎤⎦⎥(1)

初看直接傻了，完全摸不着头脑。在我印象中，旋转矩阵应该是这样的

R=⎡⎣⎢cos(θ3)sin(θ3)0−sin(θ3)cos(θ3)0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢cos(θ2)0sin(θ2)010−sin(θ2)0cos(θ2)⎤⎦⎥⎡⎣⎢1000cos(θ1)sin(θ1)0−sin(θ1)cos(θ1)⎤⎦⎥(2)

其中θ1,θ2,θ3分别是绕x,y,z轴旋转的角度。而这个和上面(1)式中的指数表示有什么关系呢？

三维旋转问题除了用旋转矩阵来表示，还可以用旋转向量来表示。我们知道，空间任何一个旋转变换(或是很多次旋转变换的组合)，都可以简化为绕某一单位向量r=[rx,ry,rz]旋转θ角。假设这个旋转变换把一个向量V1变换到V2，则

V2=V1cos(θ)+(r×V1)sin(θ)+r(r⋅V1)(1−cos(θ)）(3)

而叉乘又可以表示为矩阵乘法的形式

r×V1=r×V1,r×=⎡⎣⎢0rz−ry−rz0rxry−rx0⎤⎦⎥(4)

我们把r×称为叉乘矩阵。由(3)式即可把绕向量的旋转变换变成矩阵形式。实际中，经常把旋转角度作为旋转向量的长度(模)，因此有旋转向量转换成旋转矩阵的公式
(5)
即先从旋转向量提取出旋转角度的信息，再将旋转向量归一化，最后求出旋转矩阵。已知旋转矩阵，求旋转向量的公式如下

这个和本文主题关系不大，只是为了完整性提一下。以上两个公式，在OpenCV的文档里能找到，就是所谓的罗德里格斯公式（Roderigues Formula）。
而(5)式中的R矩阵，与矩阵的指数就有些关系了。
小木虫上有个帖子，介绍了矩阵的指数与旋转向量的关系
http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=4536854
(6)
(6)式中最后一项I-cos(t)应为1-cos(t)。
从(6)式中我们可以看出，矩阵的指数是由泰勒展开式定义的
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E6%8C%87%E6%95%B0
维基百科里还提到它的一些性质，具体可以自己看。
(6)式中的w^就是w向量叉乘的矩阵表示。从上面这段英文我们可以知道，由于叉乘矩阵的特殊性质，即w^3=−w^，矩阵的指数可以简化为矩阵和三角函数的线性组合的形式。
因此，如果将

w^=⎡⎣⎢0θ30−θ300000⎤⎦⎥=⎡⎣⎢010−100000⎤⎦⎥θ3

代入(6)式，我们有

ew^t=⎡⎣⎢cos(θ3)sin(θ3)0−sin(θ3)cos(θ3)0001⎤⎦⎥(7)

啊哈，这就是我们常见的绕z轴旋转的旋转矩阵。
同理，(5)式中如果我们注意到

r2×=⎡⎣⎢r2x−1rxryrxrzrxryr2y−1ryrzrxrzryrzr2z−1⎤⎦⎥(利用了r向量是归一化的单位向量)

而

rrT=⎡⎣⎢r2xrxryrxrzrxryr2yryrzrxrzryrzr2z⎤⎦⎥=r2×−I(8)

将(8)式代回(5)式就能得到

R=I+r×sin(θ）+r2×(1−cos(θ))

对比(6)可以发现这就是er×θ，因此(5)式和(6)式是等价的，(6)式即把绕向量的旋转变换为了矩阵的指数的形式。
至于(1)式中那个θ的叉乘矩阵，我本来想把它分解一下

⎡⎣⎢0θ3−θ2−θ30θ1θ2−θ10⎤⎦⎥=⎡⎣⎢010−100000⎤⎦⎥θ3+⎡⎣⎢00−1000100⎤⎦⎥θ2+⎡⎣⎢0000010−10⎤⎦⎥θ1

然后应用(7)式的结论就有了(2)式我们常见的旋转矩阵的形式。但矩阵的指数只有满足矩阵可以交换时才能分解，即eX+Y=eXeY只有在XY=YX时才成立。因此上面这种做法是行不通的。因为这种拆解方式，θ1,θ2,θ3之间是没有顺序的，而(2)式的三个矩阵显然是有顺序的。

因此(1)式中的θ1,θ2,θ3并不是分别绕三维轴的夹角，而是一个旋转向量θ=(θ1,θ2,θ3)T，它定义的旋转变换，就是(1)式的这个矩阵指数形式。直接通过(5)式或者(6)式，可以把它换成一般的矩阵形式。由于矩阵的指数是通过泰勒级数定义的，因此用矩阵指数的形式来把旋转向量转换为旋转矩阵，计算起来比较容易。另外如果旋转向量θ=(θ1,θ2,θ3)T中含有变量，把它转换为(5)式那种形式，再想对变量求导就很不方便，而如果写成eθ×这种形式，根据定义很容易就能证明

ddθ1eθ×=eθ×⋅ddθ1θ×

处理起来非常方便。

简言之，用矩阵指数来表示旋转向量的矩阵，计算、求导过程用计算机处理起来都很方便，我觉得这就是它常常被使用的原因。