利用QR算法求解矩阵的特征值和特征向量

为了求解一般矩阵(不是那种幼稚到shi的2 x 2矩阵)的特征值．
根据定义的话，很可能需要求解高阶方程．．．
这明显是个坑．．．高阶方程你肿么破．．．

折腾了好久
1.我要求特征值和特征向量．
2.找到一种算法QR分解矩阵求解特征值
3.QR矩阵分解需要Gram-schimidt正交化分解

有一种很明显的感觉，往往在现在很难有　很系统　很深入　的学习某一个学科的某一门知识．
往往学的时候＂靠，学这东西有什么用＂＂学了这么久，也不知道怎么用，不想学＂
到后来要解决问题的时候，要解决问题很可能这个问题里包含其他子问题，自问题里又有自问题，一层层的递归下去，直到解决所有子问题，才能递归回去，解决我们最初想搞定的问题．

又会懊恼，没有很系统的学习过那门知识．

骚年，Hold 住，你能递归的去死磕一个问题多深，如果你能安全的返回到原来你最初想要解决的问题，没有＂爆栈＂，那么这个深度就代表你的学习能力．深度越深，学习能力是越强的．人不可能一直拥有一个足够舒适的环境去系统的把所有东东都搞定，不可能把所有的基础知识都搞定了再上项目，去解决实际问题．在实际问题中发现问题，解决问题，才是真真的学习能力！！！不是TM卷子上多少分！给朕Hold住！

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啊，呼喊万能的wiki帝
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors

先回顾一下对于一般的矩阵求特征值是怎么破的

你会发现，上帝啊，这家伙要求解方程．．．一般的二阶方程可能还能搞得定，但是矩阵的规模一大，高阶方程就坑爹了，你去求解高阶方程组？两个字，呵呵．当前我找到的可行解是矩阵的QR算法．

其实也没有什么难的，就是一次次的迭代，对矩阵A做QR分解，然后由于Ｑ是个正交阵他的逆和转置是一样的，所以你会看到上面图中的公式推到．
迭代次数足够多的时候，可以得到足够接近矩阵特征值的数值解．

再次强调，计算机只能求解数值解，不能求解析解．

    def eig(self, A) :        if A is None :            return        for i in range(0, 20) :            (Q, R) = self.qr_decomposition(A)            A = self.multiply(R, Q)        return A

对角线上的就是矩阵的特征值

找到特征值之后根据

Ax=βx

然后对A−β矩阵求逆即可

输出的第一个矩阵的对角线上的都是特征值
函数实现:

    def eig(self, A) :        if A is None :            return        tmp_mat = copy.deepcopy(A)        for i in range(0, 20) :            (Q, R) = self.qr_decomposition(tmp_mat)            tmp_mat = self.multiply(R, Q)        row = len(tmp_mat)        col = len(tmp_mat[0])        for i in range(0, row) :            for j in range(0, col) :                if i != j :                    tmp_mat[i][j] = 0        eig_vec = self.inverse(self.sub(A, tmp_mat))        return (tmp_mat, eig_vec)

以上函数实现中涉及的＂未知＂函数实现都能在线面的Link里面找到
http://blog.csdn.net/cinmyheart/article/details/43976423

如果你细心的话就会发现，上面的实现是无法对特征值为0的情况进行求解的，不然BUG．
注意事项 :
这里算法要求待求解矩阵是要满足行列式的值非0．即，矩阵的特征值不能为0．

推土机压过旧日的家只剩下门前电线杆和灰蒙的天房檐下伸手去捧雨天的房檐水屋后桔园里从秋千上摔下边疼边笑日落时有爷爷的三轮车从镇上回来门前有人坐着小木凳眨巴着眼痴痴地等太阳不等你我等你时间开着推土机无情的碾过童年

摄于二零一五年二月六日