算法导论学习之堆+堆排序+堆构成优先队列
来源:互联网 发布:mysql中insert into 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 09:28
注:堆分为最大堆和最小堆两种,下面我们讨论的堆都是指的最大堆,最小堆的性质与其是类似的。
堆数据结构是一种数组对象,可以被视为一棵完全二叉树(这棵二叉树除最后一层外,其余每层都是填满的);我们用一个数组来存储一个堆,表示堆的数组有两个属性:length[A]表示的是数组中的元素个数,headsize[A]表示堆中元素个数(也就是说数组中的元素不一定都是堆中的元素)。
下面不加证明的给出一些堆的性质:
对于任何一个节点,其父节点为i/2(i>1);左儿子:2*i,右儿子:2*i+1;
对于最大堆每个节点满足:A[parent[i]]>=A[i]
含n个元素堆的高度为lgn
含n个元素堆的叶子节点的编号为:n/2+1,n/2+2,……,n。
一.堆的调整函数—保持堆的性质
考虑这样一种情况,如果对于节点i,其左右子树都是一个合法的大根堆,但是节点i不满足堆的性质,那么我们可以通过调整使得以i为根节点的树满足堆的性质。那么具体的调整过程是怎样的呢?我们令largest表示A[i],A[i*2],A[2*i+1]中最大的那个,如果largest不是i那么我们就交换A[i]和A[largest]并且递归的进入到以largest为根节点的子树中继续进行调整。具体的代码实现如下:
void MaxHeadfly(int *a,int i,int HeadSize){ ///堆调整函数:调整以i为根的子树,使得其符合大根堆的特性(在其左右子树都是合法的大根堆的情况下) ///最大堆调整函数是堆排序中最重要的函数,是后面几个函数的重要组成部分; ///其主要思想是:先是调整根节点然后递归的调整受影响的左(右)子树,直到叶子节点 int l=2*i,r=2*i+1; ///取出节点i的左右儿子节点的编号 int largest; ///记录最大值的节点编号 if(a[i]<a[l]&&l<=HeadSize) largest=l; else largest=i; if(a[largest]<a[r]&&r<=HeadSize) largest=r; if(largest!=i) {///递归调整受影响的子树 swp(a[i],a[largest]); MaxHeadfly(a,largest,HeadSize); }}
二.堆的建立
堆的建立其实就是一个不断调用调整函数的过程。我们知道堆的叶子节点可以看成只含有一个元素合法的大根堆,这样如果我们从第一个非叶子节点开始依次调用调整函数,就可以保证被调整的节点的左右子树都是合法的大根堆,进而可以保证调整得到的树也是合法的大根堆。具体的代码实现如下:
void BuildMaxHead(int *a,int n){ ///最大堆建立函数:通过对数组元素有序的进行调整,使得数组成为一个大根堆 ///由完全二叉树的性质:含n个元素的堆,其叶子节点编号为n/2+1,n/2+2。。。n; ///对于叶子节点可以看成合法的单个元素的大根堆,由MaxHeadfly函数的性质可以知道 ///如果节点i不满足大根堆的性质,但是其左右子树都是合法的大根堆,那么调用MaxHeadfly ///调整后以i为根节点可以构成一个合法的大根堆,而一个节点的左右儿子节点编号都是大于其的 ///所以我们可以从编号n/2--1的节点依次调用堆的调整函数,然后就可以得到一个大根堆了。 for(int i=n/2;i>=1;i--) MaxHeadfly(a,i,n);}
三.堆排序
顾名思义堆排序就是利用堆的性质对数组进行排序,对于一个堆来说我们能利用的性质就是其根节点中的元素是最大的,这次每次我们都可以将A[1]与A[HeadSize]进行交换,交换以后HeadSize的值减1,并且调用MaxHeadfly(a,1,HeadSize)对堆进行调整,使得A[1]又变成剩下元素中最大的,然后继续这个过程。最后得到一个有序的数组。堆排序的时间复杂度是nlgn;具体的代码实现如下:
void HeadSort(int *a,int n){///堆排序函数:实现对数组中的n个元素进行从小到大的排序,时间复杂度nlgn ///我们知道如果一个数组构成大根堆后,那么其根节点a[1]必定是其中最大的元素 ///此时如果我们将a[1]与a[n]互换,那么a[n]就是最大的元素了; ///但是a[1--n-1]构成的堆可能不再满足最大堆的性质,我们再调用MaxHeadfly(a,1,n-1)调整成最大堆 ///然后a[1]就成了a[1--n-1]中最大的元素了,然后我们交换a[1]和a[n-1],那么a[n-1]和a[n]就是有序的了。 ///继续这个过程直到堆的规模减少到2,然后进行最后一次调整交换,a数组就有小到大排列了。 ///时间复杂度:建立大根堆时间O(n),每次调整时间O(lgn)共调整n-1次,所以总的复杂度nlgn BuildMaxHead(a,n); ///建立一个大根堆 int HeadSize = n; for(int i=n;i>=2;i--) ///堆的规模不断减少 { swp(a[1],a[i]); HeadSize--; ///交换以后就要减少堆的大小 MaxHeadfly(a,1,HeadSize); ///根节点改变了,重新调整成大根堆 }}
下面附上一份完整的堆排序的代码:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int swp(int &a,int &b){ int t=a; a=b; b=t;}void MaxHeadfly(int *a,int i,int HeadSize){ int l=2*i,r=2*i+1; ///取出节点i的左右儿子节点的编号 int largest; ///记录最大值的节点编号 if(a[i]<a[l]&&l<=HeadSize) largest=l; else largest=i; if(a[largest]<a[r]&&r<=HeadSize) largest=r; if(largest!=i) {///递归调整受影响的子树 swp(a[i],a[largest]); MaxHeadfly(a,largest,HeadSize); }}void BuildMaxHead(int *a,int n){ for(int i=n/2;i>=1;i--) MaxHeadfly(a,i,n);}void HeadSort(int *a,int n){ BuildMaxHead(a,n); ///建立一个大根堆 int HeadSize = n; for(int i=n;i>=2;i--) ///堆的规模不断减少 { swp(a[1],a[i]); HeadSize--; ///交换以后就要减少堆的大小 MaxHeadfly(a,1,HeadSize); ///根节点改变了,重新调整成大根堆 }}int main(){ int n=5,a[10]; cout<<"请输入"<<n<<"个数:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; HeadSort(a,n); cout<<"排序以后的数组:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" "; cout<<endl; return 0;}
四.优先队列
对于一般的队列来说,满足先进先出的性质(队尾入队,对首出队),但对于优先队列来说,每次都是最大的/最小的元素出队。堆可以实现优先队列的基本操作,利用的也是堆的性质。优先队列一些具体的函数操作及其原理见下面的代码。
#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3f///一般的队列满足先进先出的性质,而优选队列不同,其///总是最大的/最小的先出队。借助于堆的性质,我们可以///在lgn的时间内实现优选队列的任何操作void swp(int &a,int &b){ int t=a; a=b; b=t;}void MaxHeadfly(int *a,int i,int HeadSize)///堆调整函数{ int largest; int l=i*2,r=2*i+1; if(a[i]<a[l]&&l<=HeadSize) largest=l; else largest=i; if(a[largest]<a[r]) largest=r; if(largest!=i) { swp(a[i],a[largest]); MaxHeadfly(a,largest,HeadSize); }}void BuildMaxHead(int *a,int n) ///建立一个最大堆{ int k=n/2; for(int i=k;i>=1;i--) MaxHeadfly(a,i,n);}///以下为优先队列的操作int MaxNum(int *a) ///取出最大的元素{ return a[1]; ///直接返回}void IncreaseKey(int *a,int x,int k){ ///将堆中编号为x的元素的值提升到k,k不能小于原来的值。 ///这种提升只可能会导致父节点不满足最大堆的性质,所以直接向上递归的检查 a[x]=k; while(x>1&&a[x/2]<a[x]) { swp(a[x],a[x/2]); x=x/2; }}int ExtractMax(int *a,int &HeadSize){ ///去掉堆中最大的元素,并返回其值 ///思想类似于堆排序的一次调整:我们先交换a[1]与a[HeadSize]的值 ///然后再将HeadSize的值减1(相当于去掉一个叶子节点);然后再调用 ///MaxHeadfly(a,1,HeadSize)对堆进行调整,保证堆的性质。 swp(a[1],a[HeadSize]); HeadSize--; MaxHeadfly(a,1,HeadSize); return a[HeadSize];}void Insert(int *a,int &HeadSize,int x){ ///向堆中加入一个元素x ///思想:先在堆中加入一个叶子节点,并将其值赋值为-INF ///然后再调用上面的调整函数将该叶子节点的值调整为x HeadSize++; ///增加一个叶子节点 a[HeadSize]=-1*INF; IncreaseKey(a,HeadSize,x);}int main(){ int a[10]; int n=5; cout<<"请输入5个数: "<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; int HeadSize=n; BuildMaxHead(a,n); ///取出队列中 最大的那个元素 cout<<"最大的元素是: "<<MaxNum(a)<<endl; ExtractMax(a,HeadSize); cout<<"移除最大元素后,剩下元素中最大的是: "<<MaxNum(a)<<endl; ///将第4个元素增加到100 IncreaseKey(a,4,100); cout<<"将第4个元素增加到100后,最大元素是: "<<MaxNum(a)<<endl; ///将110插入到队列中 Insert(a,HeadSize,110); cout<<"插入110后,最大元素是: "<<MaxNum(a)<<endl; return 0;}
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