概率的基本概念

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1 概率是什么

概率是表示某种情况（事件）出现的可能性大小的一种数量指标，它介于0与1之间。

1.1 主观概率

凭着经验和知识对事件发生的可能性作出的一种主观估计，主观概率可以理解为一种心态或倾向性。

这里的某种事件后面即定义为随机事件，所谓“随机事件”，即它的结果具有偶然性。

1.2 古典概率的定义

假定某个试验有有限个可能的结果e1,e2,…,eN。假定从该试验的条件及实施方法去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果，例如ei，比任一其他结果，例如ej，更具有优势（即更倾向于易发生），则我们只好认为，所有结果e1,e2,…,eN在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会。常常把这样的试验结果称为“等可能的”。

设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含中的M个结果，则事件E的概率，记为P(E)，定义为：

P(E)=M/N

上面的古典定义它只能用于全部试验结果为有限个，且等可能性成立的情况，某些情况下，这个概念可以引申到试验结果有无限多的情况。

古典概率的核心实际上就是"数数"，首先数样本空间中基本事件的个数N，再数事件A包含的基本事件个数M

1.3 几何概率

甲、乙二人约定1点到2点之间在某处碰头，约定先到者等候10分钟即离去。设想甲、乙二人各自随意地在1-2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能碰上”这事件E的概率是多少？

如果我们以一个坐标系来代表所有事件发生的平面，则x轴代表甲出发的时刻，y轴代表乙出发的时刻，如果甲乙能碰上则必须满足：

|x−y|<10

可以计算在坐标轴平面上，满足上面不等式的区域的面积。

几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率。

1.4 概率的频率定义方法

1）与考察事件A有关的随机现像可大量重复进行

2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数。称fn(A)=n(A)n为事件A出现的频率。

3）人们的长期实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值。这个频率的稳定值就是我们所求的概率。

 

2 古典概率的计算

 

2.1 两个原理

1）乘法原理

如果某件事需经过k个步骤才能完成，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×⋯×mk种方法。

2）加法原理

如果某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m1种完成的方法，在第二类途径中有m2种完成的方法……在第k类途径中有mk种完成的方法，那么完成这件事共有m1+m2+⋯+mk种方法。

2.2 排列与组合

按照古典概率公式的定义，古典概率的计算归结为计算两个数M和N。这种计算大多数涉及排列组合。二者的区别在于，排列要计较次序而组合不计较：ab和ba是不同的排列，但是是相同的组合。

排列：n个相异物件取r个(1≤r≤n)的不同排列总数为

Pnr=n(n−1)(n−2)…(n−r+1)

特别地，当n=r时，得到Prr=r(r−1)…1=r!，称为r的一个全排列。

组合：n个相异物件取r个(1≤r≤n)的不同组合总数为

Cnr=Pnr/r!=n!/(r!(n−r)!)

有些书中把记号Cnr写为Crn。Cnr的一个更通用的记号是(nr)。我们后面将用(nr)取代Cnr。我们很容易推导出(n0)=1且有，

(nr)=n(n−1)…(n−r+1)/r!

2.3 与二项式展开的关系

组合系数(nr)又常称为二项式系数，因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中：

(a+b)n=∑i=0n(nr)aibn−i

这面这个公式的证明很简单：因为，(a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b).为了产生aibn−i这一项，在这n个(a+b)中，要从其中的i个取出a，另n−i个取出b。从n个中取出i个的不同取法为(nr)，这也就是aibn−i这一项的系数。

2.4 分堆问题

n个相异物件分成k堆，各堆物体数分别为r1,r2,…,rk的分法是

n!r1!…rk!

此处r1,r2,…,rk都是非负整数，其和为n

举个例子：共有n双各异的鞋子一共2n只，把它们随机分为n堆，每堆2只，求恰好每堆鞋子组成一双的概率：

先求所有可能的分法，按上面的公式，可以得出一共有(2n)!/2n种分法，而如果把每一双鞋子看成一个物体，则n个物体的全排列为n!种，所以最终的概率为2nn!(2n)!

古典概率的计算基本都涉及到排列组合问题，这类问题可能情况很复杂，设计的很难，所以不用花太多时间在古典概率的计算上。

3 事件的运算

 

3.1 事件的蕴含、包含及相等

在同一试验下的两事件A和B，如果当A发生时B必发生，则称A蕴含B，或者说B包含A，记为A⊂B。若A,B互相蕴含，即A⊂B且B⊂A，则称A,B两事件相等，记为A=B。

如下图中所示，方框如果是一个靶，则如果击中了A，则一定击中了B。A和B相比A更难发生一些，因而其概率就必然小于至多等于B的概率。

3.2 事件的互斥和对立

若两件事A和B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称它们是互斥的。如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的。

任何一个样本空间，它的基本事件之间都是彼此互斥的。值得注意的事，互斥事件一定是在同一个试验下的，可能出现的不同的结果。这两个事件是对这个试验结果不同可能性的描述。

如掷一个骰子时，掷出1点和掷出2点这两个事件就是互斥的，它两不可能同时发生，但可以都不发生。

互斥事件一个重要的情况是“对立事件”，若A为一事件，则事件B={A不发生}称为A的对立事件，多记为A¯（也记为Ac）。

如掷一个骰子时，掷出是奇数点与掷出是偶数点就是对立事件。

这里注意区分对立事件与互斥事件！

3.3 事件的和

设有两事件A，B，定义一个新事件C如下：

C={A发生，或B发生}={A,B至少发生一个}

这样定义的事件C称为A与事件B的和，记为C=A+B。

推广到多个事件的情形，设有若干个事件A1,A2,…,An。它们的和A，定义为事件

A={A1发生，或A2发生，⋯，或An发生}={A1,A2,…,An至少发生一个}

3.4 概率的加法定理

公理

若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和：

P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…

推论

以A¯表示A的对立事件，则

P(A¯)=1−P(A)

3.5 事件的积、事件的差

设有两件事A，B，则如下定义的事件C

C={A,B都发生}

多个事件A1,A2,…（有限或无限个都可以）的积的定义类似：A={A1,A2,⋯都发生}，记为A=A1A2…，或∏ni=1Ai

两个事件A,B之差，记为A−B，定义为：

A−B={A发生，B不发生}=AB¯

 

4 条件概率与独立性

 

4.1 条件概率的定义

设有两事件A,B而P(B)≠0。则“在给定B发生的条件下A的条件概率”，记为P(A|B)，定义为

P(A|B)=P(AB)/P(B)

思考：有三张牌，第一张牌两面都是一个实心点，第二张牌一面为一实心点，一面为一空心点；第三张牌两面都是空心点。现在随机从3张中抽一张牌，而且它的一面是实心点，那么这张牌另一面也是实心点的概率是多少？

4.2 事件的独立性，概率乘法定理

设有两事件A,B，A的无条件概率P(A)与其在给定B发生之下的条件概率P(A|B)，一般是有差异的。这反映了这两事件之间存在着一些关联。例如，若P(A|B)>P(A)，则B的发生使A发生的可能性增大了：B促进了A的发生。

反之，若P(A|B)=P(A)，则B的发生与否对A发生可能性毫无影响。这时在概率论上就称A，B两事件独立。我们很容易得到

P(AB)=P(A)P(B)

对于满足上面公式的两件事件A，B，称A，B独立。上面的公式也即为概率的乘法定理。

判断事件是相互独立，有时并不是通过上面的公式去判定。

假设掷3个骰子，定义下面两个事件A和Ｂ。A＝{至少有一个骰子掷出１}，事件B＝｛三个骰子掷出的点数中至少有两个一样｝，问A，B是否独立？

初看往往会觉得A与B独立，因为一个关心的是掷出的点数，另一个是掷出的同样性（不关心点数是多少）。也就是有没有掷出1好像对事件B没有利也没有害。

换一个角度，考虑A的对立事件，即没有一个骰子掷出1，说明三个骰子掷出的点数为{2,3,4,5,6}那么，事件B中，每个骰子最多只有5个结果了，相比原来少了一种可能性，那么显然B事件发生最终的概率也变了。

若干个独立事件A1,A2,…为有限或无限个事件。如果从其中任意取出有限个Ai1,Ai2,…,Aim都成立

P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aim)

则称事件A1,A2,…相互独立。也就是说，对一任意一件事A，其他事件的发生与否对事件A的发生没有影响。

若干个独立事件A1,…,An之积的概率，等于各事件概率的乘积：

P(A1…An)=P(A1)…P(An)

乘法定理的作用与加法定理一样：把复杂事件的概率的计算归结为更简单的事件概率的计算，这当然要有条件，相加是互斥，相乘是独立。

4.3 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

设B1,B2,…为有限个或无限个事件，它们两两互斥且在每次实验中至少发生一个，用式表示之，即

BiBj=∅（不可能事件），当i≠jB1+B2+⋯=Ω（必然事件）

有时把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”。注意，任一事件B及其对立事件组成一个完备事件群。

现在考虑任一事件A，因为Ω为必须事件，有A=AΩ=AB1+AB2+…。因为B1B2,…两两互斥，显然AB1,AB2,…也两两互斥。根据加法定理有

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…

再由条件概率的定义，有P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)，代入上式得

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…

上面的公式即为全概率公式。

实用意义：在较复杂的情况下直接算P(A)不易，但A总是随着某个Bi伴出，适当去构造这一组Bi往往可以简化计算。

我们可以把P(Bi)看成权重，则全概率公式则为条件概率的加权。

贝叶斯公式

在全概率公式的假定之下，有

P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑jP(Bj)P(A|Bj)

上面就是著名的贝叶斯公式。

意义：先看P(B1),P(B2),…，它是没有进一步的信息（不知事件A是否发生）的情况下，人们对事件B1,B2,…发生可能性大小的认识。现在有了新的信息（知道A发生），人们对B1,B2,…发生可能性大小有了新的估价。

如果我们把事件A看成“结果”，把诸事件B1,B2,…看成导致这结果的可能的“原因”，则可以形象地把全概率公式看作为“由原因推广结果”；而贝叶斯公式则恰好相反，其作用在于“由结果推原因”：现在有一个“结果A已发生了”，在众多可能的原因中，到底哪一个导致了这结果？贝叶斯公式说，各原因可能性大小与P(Bi|A)成比例。