二分图最大权匹配(KM算法)
来源:互联网 发布:tsp问题算法 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 15:14
KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B [i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:
两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶 标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改 顶标后,要把所有的slack值都减去d。
hdu 2255
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Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 4448 Accepted Submission(s): 1915
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住(如果有老百姓没房子住的话,容易引起不安定因素),每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
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poj 2195
Description
Your task is to compute the minimum amount of money you need to pay in order to send these n little men into those n different houses. The input is a map of the scenario, a '.' means an empty space, an 'H' represents a house on that point, and am 'm' indicates there is a little man on that point.
You can think of each point on the grid map as a quite large square, so it can hold n little men at the same time; also, it is okay if a little man steps on a grid with a house without entering that house.
Input
Output
Sample Input
2 2.mH.5 5HH..m...............mm..H7 8...H.......H.......H....mmmHmmmm...H.......H.......H....0 0
Sample Output
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#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <string.h>#include <string>#include <vector>#include <queue>#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof a)#define eps 1e-8#define MOD 10009#define MAXN 10010#define INF 0x3f3f3f3f#define ll __int64#define bug cout<<"here"<<endl#define fread freopen("ceshi.txt","r",stdin)#define fwrite freopen("out.txt","w",stdout)using namespace std;void read(int &x){ char ch; x=0; while(ch=getchar(),ch!=' '&&ch!='\n') { x=x*10+ch-'0'; }}const int N=310;int nx,ny;//两边的点数int g[N][N];//二分图描述int linker[N],lx[N],ly[N];//y中各点匹配状态 x,y中的点标号int slack[N];bool visx[N],visy[N];bool DFS(int x){ visx[x]=1; for(int y=0;y<ny;y++) { if(visy[y]) continue; int tmp=lx[x]+ly[y]-g[x][y]; if(tmp==0) { visy[y]=1; if(linker[y]==-1||DFS(linker[y])) { linker[y]=x; return 1; } } else if(slack[y]>tmp) slack[y]=tmp; } return 0;}int KM(){ MEM(linker,-1); MEM(ly,0); for(int i=0;i<nx;i++) { lx[i]=-INF; for(int j=0;j<ny;j++) { if(g[i][j]>lx[i]) lx[i]=g[i][j]; } } for(int x=0;x<nx;x++) { for(int i=0;i<ny;i++) slack[i]=INF; while(1) { MEM(visx,0); MEM(visy,0); if(DFS(x)) break; int d=INF; for(int i=0;i<ny;i++) if(!visy[i]&&d>slack[i]) d=slack[i]; for(int i=0;i<nx;i++) if(visx[i]) lx[i]-=d; for(int i=0;i<ny;i++) { if(visy[i]) ly[i]+=d; else slack[i]-=d; } } } int res=0; for(int i=0;i<ny;i++) if(linker[i]!=-1) res+=g[linker[i]][i]; return res;}int x[1100],y[1100];char ch[110][110];int main(){// fread; int n,m; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { if(n==0&&m==0) break; for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s",ch[i]); int num=0; for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<m;j++) { if(ch[i][j]=='m') { num++; x[num]=i;y[num]=j; } } } int cnt=0; for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<m;j++) { if(ch[i][j]=='H') { cnt++; x[num+cnt]=i;y[num+cnt]=j; } } } for(int i=1;i<=num;i++) { for(int j=1;j<=cnt;j++) { int val=abs(x[i]-x[num+j])+abs(y[i]-y[num+j]); g[i-1][j-1]=-val; } } nx=num; ny=cnt; printf("%d\n",-KM()); } return 0;}
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