二分图最大权匹配-km算法

百度百科是错的，关于相等子图的那一块。

穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。
定理：
设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i]表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j]成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。

对于任意的G和M，可行顶标都是存在的：
l(x) = maxw(x,y)
l(y) = 0
欲求完全二分图的最佳匹配，只要用匈牙利算法求其相等子图的完备匹配；问题是当标号之后的Gl无完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法早？？？），Kuhn和Munkras给出了一个解决该问题的有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对应的相等子图之最大匹配逐次增广，最后出现完备匹配。

修改方法如下：
先将一个未被匹配的顶点u(u in {x})做一次增广路，记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有被访问。然后调整lx和ly：对于访问过的x顶点，将它的可行标减去d，对于所有访问过的y顶点，将它的可行标增加d。修改后的顶标仍是可行顶标，原来的匹配M仍然存在，相等子图中至少出现了一条不属于M的边，所以造成M的逐渐增广。

上述算法的证明也很容易
Kuhn－Munkras算法流程：
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止

代码：大家最好是看代码，更能看懂。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <memory.h>#include <algorithm> using namespace std;#define MAX 100int n;int weight[MAX][MAX];           //权重int lx[MAX],ly[MAX];                //定点标号bool sx[MAX],sy[MAX];          //记录寻找增广路时点集x，y里的点是否搜索过int match[MAX];                       //match[i]记录y[i]与x[match[i]]相对应bool search_path(int u) {          //给x[u]找匹配,这个过程和匈牙利匹配是一样的sx[u]=true;for(int v=0; v<n; v++){if(!sy[v] &&lx[u]+ly[v] == weight[u][v]){sy[v]=true;if(match[v]==-1 || search_path(match[v])){match[v]=u;return true;}}}return false;}int Kuhn_Munkras(bool max_weight){if(!max_weight){ //如果求最小匹配，则要将边权取反for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)weight[i][j]=-weight[i][j];}//初始化顶标，lx[i]设置为max(weight[i][j] | j=0,..,n-1 ), ly[i]=0;for(int i=0;i<n;i++){ly[i]=0;lx[i]=-0x7fffffff;for(int j=0;j<n;j++)if(lx[i]<weight[i][j])lx[i]=weight[i][j];}memset(match,-1,sizeof(match));//不断修改顶标，直到找到完备匹配或完美匹配for(int u=0;u<n;u++){   //为x里的每一个点找匹配while(1){memset(sx,0,sizeof(sx));memset(sy,0,sizeof(sy));if(search_path(u))       //x[u]在相等子图找到了匹配,继续为下一个点找匹配break;//如果在相等子图里没有找到匹配，就修改顶标，直到找到匹配为止//首先找到修改顶标时的增量inc, min(lx[i] + ly [i] - weight[i][j],inc);,lx[i]为搜索过的点，ly[i]是未搜索过的点,因为现在是要给u找匹配，所以只需要修改找的过程中搜索过的点，增加有可能对u有帮助的边int inc=0x7fffffff;for(int i=0;i<n;i++)if(sx[i])for(int j=0;j<n;j++)if(!sy[j]&&((lx[i] + ly [j] - weight[i][j] )<inc))inc = lx[i] + ly [j] - weight[i][j] ;//找到增量后修改顶标，因为sx[i]与sy[j]都为真，则必然符合lx[i] + ly [j] =weight[i][j]，然后将lx[i]减inc，ly[j]加inc不会改变等式，但是原来lx[i] + ly [j] ！=weight[i][j]即sx[i]与sy[j]最多一个为真，lx[i] + ly [j] 就会发生改变，从而符合等式，边也就加入到相等子图中if(inc==0)  cout<<"fuck!"<<endl;for(int i=0;i<n;i++){if(sx[i])   //lx[i]-=inc;if(sy[i])ly[i]+=inc;}}}int sum=0;for(int i=0;i<n;i++)if(match[i]>=0)sum+=weight[match[i]][i];if(!max_weight)sum=-sum;return sum;}int main(){scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)scanf("%d",&weight[i][j]);printf("%d\n",Kuhn_Munkras(1));system("pause");return 0;}