[HDU 1402]A * B Problem Plus(FFT)

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

题目大意

高精度乘法，两个乘数的长度均<=50000

思路

高精度乘法的过程和多项式乘法具有惊人的相似性，同样的，高精度乘法的暴力做法和暴力的多项式乘法一样，也是O(n2)
观察到暴力的高精度乘法为了优化，可以在做完双重循环之后再一并取模，因此我们可以优化前面的双重循环过程，最后再进行取模。前面的双重循环过程，和暴力多项式乘法基本上是一样的，因此我们可以用FFT将高精度乘法优化到O(nlogn)。将两个数字a、b均看成是最高次为len(a)−1,len(b)−1的两个多项式，然后在多项式中的xi前面的系数就是这个数的第i+1位上的数字。
可以算是FFT模板水题吧。

代码

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <complex>#include <cmath>#define MAXN 201000#define PI 3.1415926535897384626using namespace std;typedef complex<double> Complex;void reverse(Complex a[],int n) //对长度为n的复数序列a进行区间反转{    for(int i=1,j=n/2,k;i<n-1;i++) //!!!!!    {        if(i<j) swap(a[i],a[j]);        k=n/2;        while(j>=k)        {            j-=k;            k>>=1;        }        if(j<k) j+=k;    }}void FFT(Complex a[],int n,int flag) //对长为n的复数序列a做FFT，flag=1是求值，flag=-1是插值{    reverse(a,n);    for(int i=1;i<n;i<<=1)    {        Complex wn=Complex(cos(PI/i),flag*sin(PI/i));        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))        {            Complex w=Complex(1,0);            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) //!!!!!            {                Complex x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];                a[j+k]=x+y;                a[j+k+i]=x-y;            }        }    }    if(flag==-1) //这是插值操作，还要乘上1/n的系数        for(int i=0;i<n;i++)            a[i]=Complex(a[i].real()/n,a[i].imag());}char stra[MAXN],strb[MAXN];int lena,lenb;Complex a[MAXN],b[MAXN];int c[MAXN]; //最终的答案int main(){    while(scanf("%s%s",stra,strb)!=EOF)    {        memset(a,0,sizeof(a));        memset(b,0,sizeof(b));        lena=strlen(stra);        lenb=strlen(strb);        int len=lena+lenb+1;        int N=1,k=0; //min(2^k)=min(N)>=lena+lenb+1        for(;N<len;N<<=1,k++);        for(int i=0;i<lena;i++)            a[i]=Complex((int)stra[lena-1-i]-'0',0);        for(int i=0;i<lenb;i++)            b[i]=Complex((int)strb[lenb-1-i]-'0',0);        FFT(a,N,1);        FFT(b,N,1);        for(int i=0;i<N;i++)            a[i]=a[i]*b[i];        FFT(a,N,-1);        for(int i=0;i<N;i++)            c[i]=(int)(a[i].real()+0.5);        for(int i=0;i<N;i++)        {            c[i+1]+=c[i]/10;            c[i]%=10;        }        N=lena+lenb-1;        while(!c[N]&&N>0) N--;        for(int i=N;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);        printf("\n");    }    return 0;}