整数的因子和 ---TOJ 1089 Happy 2004

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题意

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题目链接：1089. Happy 2004
这个题目就是求出 2004Xmod29 的结果，其中1≤X≤10000000

Input
1
10000
0

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Output
6
10

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思路

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明显暴力解法肯定会超时， 数论问题首先要从整数的标准分解入手：

N=∏ki=1paii 其中 pi 是N 的质因子，ai为其次数。

例如： 12=22∗3
有了标准分解， 接着考虑 一个整数的是怎么构成因数的，就是由 质因子及其幂 相互相乘得到的，具体来说就是 我们每次可以取出 pi 的不同次数，来构成因数，这样就有 0,1,…ai ，共有(ai+1) 种选择。 接着就是一个组合过程，看下面的式子：

∏ki=1(p0i+p1i+…+paii)

这个式子展开之后就是 所有的因子相加了 ，正是我们所求的~

下面就是求解这个式子结果了， 取模的话就直接分配进去按照二分幂 取摸，
不过这里有个技巧：

∃l Al+xmod m=Axmod m 其中 l∈[0,m] 成立，

只需要求出循环节 l 即可， 最后加上余下的那部分数字即可。2004的质因子为2,3,167
2的幂关于29的循环节是28；
3的幂关于29的循环节是28；
167的幂关于29的循环节是21；
2,3,167的循环节内的和 mod 29 正好为0；
因此只需要求出 循环节剩下的部分即可~

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代码

#include <iostream>#include <math.h>#include <stdlib.h>using namespace std;int n;int main(){    while(cin>>n&&n)    {        long long a=0,b=0,c=0,t=1;        for(int i=0; i<(2*n+1)%28;i++)            a+=(long long)(pow(2.0,i))%29;        for(int i=0;i<(n+1)%28;i++)            b+=(long long)(pow(3.0,i))%29;        for(int i=0;i<(n+1)%14;i++){// 这里没有直接使用pow 函数，考虑到pow(167,20) 会超范围            c+=t;            t*=167;            t%=29;        }        cout<<((a%29)*(b%29)*(c%29))%29<<endl;    }}