1452 Happy 2004 （所有因子求和）

Happy 2004

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Problem Description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).
Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

 

Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).
A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.

 

Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.

 

Sample Input

1100000

Sample Output

610
 
思路分析：
设S(x)表示x的因子和。则题目求为:S(2004^X)mod 29因子和S是积性函数,即满足性质1。
性质1 ：如果 gcd(a,b)=1 则 S(a*b)= S(a)*S(b)2004^X=4^X * 3^X *167^XS(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)
性质2 ：如果 p 是素数 则 S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)因此：S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (167^(X+1)-1)/166167%29 == 22S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21
性质3 ：(a*b)/c %M= a%M * b%M * inv(c)其中inv(c)即满足 (c*inv(c))%M=1的最小整数,这里M=29则inv(1)=1，inv(2)=15，inv(22)=15
有上得：S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)*15 * (22^(X+1)-1)*18
快速幂取模就是在O(logn)内求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c 
 
 
代码
#include<iostream>   
using namespace std;  
const int pow[][3]={{2,5,32},{3,4,81},{22,2,484}};  
//2^5>29,3^4>29,22^2>29,用于求(b^i)%29   
int PowMod29(int x,int index)   //快速模幂   
{  
    int ans=1;  
    while(index>=pow[x][1]) //当指数大于这个值将会超过29   
    {  
        ans=(ans*pow[x][2])%29;  //所以要模29.并且要乘上前面的值！   
        index-=pow[x][1];  
    }  
    while(index--) ans=(ans*pow[x][0])%29;//把剩余的不超过29的乘上！再记得模上29（因为有可能超过29）   
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    int X,part2,part3,part167;  
    while(cin>>X&&X!=0)  
    {  
        part2=PowMod29(0,2*X+1);  
        part3=PowMod29(1,X+1);  
        part167=PowMod29(2,X+1);  
        cout<<((part2-1)*(part3-1)*15*(part167-1)*18)%29<<endl;//再模29，因为有超过29的可能.   
    }  
    return 0;  
}