石子合并sdoi2008
来源:互联网 发布:c语言自定义头文件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 10:47
题目描述 Description
在一个操场上摆放着一排N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法,计算出将N堆石子合并成一堆的最小得分。
输出描述 Output Description
共一个数,即N堆石子合并成一堆的最小得分。
样例输入 Sample Input
4
1
1
1
1
样例输出 Sample Output
8
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30% 的数据,1≤N≤100
对于 60% 的数据,1≤N≤1000
对于 100% 的数据,1≤N≤40000
对于 100% 的数据,1≤A≤200
思路:这个题非常经典,但省选也是够了,范围变得超大,先写了一个朴素的,过了三个点,又写了一个四边形优化,只多过了2个点,后来才知道这个题有专门的做法—- GarsiaWachs;
设一个序列是A[0..n-1],每次寻找最小的一个满足A[k-1]<=A[k+1]的k,(方便起见设A[-1]和A[n]等于正无穷大)
那么我们就把A[k]与A[k-1]合并,之后找最大的一个满足A[j]>A[k]+A[k-1]的j,把合并后的值A[k]+A[k-1]插入A[j]的后面。
有定理保证,如此操作后问题的答案不会改变。
举个例子:
186 64 35 32 103
因为35<103,所以最小的k是3,我们先把35和32删除,得到他们的和67,寻找超过67的数,把67插入到他后面
序列就成为了:
186 67 64 103 (有定理保证这个序列的答案加上67就等于原序列的答案)
现在由5个数变为4个数了,继续!
变成了:
186 131 103
现在k=2(别忘了,设A[-1]和A[n]等于正无穷大)
234 186
420
最后的答案呢?就是各次合并的重量之和呗。420+234+131+67=852,
具体证明比较复杂,基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束,之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应,并保证节点移动之后他所在的 深度不会改变。详见TAOCP。
这个题最好用平衡树维护一下,复杂度为(nlogn)当然朴素也能过为(n*n);
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; const int N = 50005; int stone[N]; int n,t,ans; void combine(int k) { int tmp = stone[k] + stone[k-1]; ans += tmp; for(int i=k;i<t-1;i++) stone[i] = stone[i+1]; t--; int j = 0; for(j=k-1;j>0 && stone[j-1] < tmp;j--) stone[j] = stone[j-1]; stone[j] = tmp; while(j >= 2 && stone[j] >= stone[j-2]) { int d = t - j; combine(j-1); j = t - d; } } int main() { cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",stone+i); t = 1; ans = 0; for(int i=1;i<n;i++) { stone[t++] = stone[i]; while(t >= 3 && stone[t-3] <= stone[t-1]) combine(t-2); } while(t > 1) combine(t-1); printf("%d\n",ans); return 0; }
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