斐波那契数列

1. 斐波那契数列

写一个函数，输入n，求斐波那契(fibonacci)数列的第n项，斐波那契数列定义f(0)=0, f(1)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>1)

1递归解法

<pre name="code" class="cpp">long long fibonacci_recursive(int n){if (n <= 0){return 0;}if (1 == n){return 1;}return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2);}

2非递归解法

long long fibonacci_Iterative(int n){if (n <= 0){return 0;}if (1 == n){return 1;}long long fibNMinusOne = 1, fibNMinusTwo = 0;long long fibN;for (int i = 2; i <= n; ++i){fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;fibNMinusTwo = fibNMinusOne;fibNMinusOne = fibN;}return fibN;}

斐波那契数列属于动态规划问题，因此采用非递归方式(1)节省了递归调用的不必要开销；(2)避免了重复计算。

2. 青蛙跳台阶

2.1 题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶共有多少种跳法。

分析：该问题明显属于动态规划问题。设f(n)表示跳n级台阶的跳法种数。

(1) n=0时，无意义。

(2) n=1时，只有1种跳法。

(3) n=2时，共有2种跳法。

(4)n>2时，若第1次跳1级台阶，则剩余n-1级台阶；若第1次选择跳2级台阶，则剩余n-2级台阶。换句话说，n级台阶的跳法可以转化为n-1级与n-2级台阶问题，即f(n) = f(n-1)+f(n-2)。

综上，青蛙跳台阶问题可以表述为公式：f(1)=1, f(2)=2, f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>2) 

该公式与斐波那契数列公式相同，但应注意不存在f(0)。

2.2 题目扩展

将2.1中的条件改成：一只青蛙一次可以跳任意大于0级台阶，此时青蛙跳n级台阶总共有多少种跳法？证明f(n)=2^n-1。

分析：类似于题目2.1有f(1) = 1,f(2)=2，当n>2时f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+1，分别对应青蛙第一次跳1级、2级、…、n级。因此该问题也可以用类似于斐波那契数列的方法实现，但对于非递归实现，因n级台阶的计算需要用到所有小于n级台阶的跳法，因此n个变量用于存储计算值，可申请长度为n的long long指针实现。

递归方法证明f(n)=2^n-1：

(1) i=1，2时显然分别有f(1)=1=2^1-1与f(2)=2=2^2-1种跳法。

(2) 假设i<n时有f(i)=2^i-1，则i=n时，由分析中的递推公式可得f(i)=f(i-1)+f(i-2)+…+f(1)=2^i-2+2^i-3+…+2^1-1+1=2^i-1(等比公式)，即f(n)=2^n-1。

综上所述，f(n)=2^n-1。

因为有了递推公式因此也可以用迭代法证明f(n)=2^n-1。