数据结构与算法之----树

二叉树的相关节点计算

1、具有n个节点的二叉树公有：(C2n下标，n上标)/(n+1)种。

2、若完全二叉树有m个节点，则其叶子节点的个数为：

没有单节点：则n+n-1=m

有一个单节点：n+n-1+1=m;

也就是说用m/2或者（m+1）/2

3、高度为k的完全二叉树最多有2k次方-1个节点。相等时为满二叉树。

最少有2（k-1）这种情况为，最底层只有1个节点，而上层有2(k-1)-1相加就能得到结果。

4、若高度数等于节点数，则是斜树，且前序和后序遍历相反。

5、赫夫曼编码相关，只要画出来看是否符合就可以。

6、具有n个值的赫夫曼节点数为：(n-1)*2+1

7、交换左右子树用后序遍历好一点。

8、n个节点的线索二叉树上含有的线索数为n+1

9、二叉树上叶子节点数等于双分支节点数+1

10、一棵具有1025个节点的二叉树高度为：11-1025

当一层只有一个时，为1025，当为完全二叉树时，为log2(n+1)向上取整，为11

11、算数表达式的前缀、中缀、后缀按照前序中序后序来处理就可以。

1、二叉树的创建、遍历、删除

代码如下：

#include "stdafx.h"#include<iostream>using namespace std;struct BitNode{int data;BitNode *lchild;BitNode *rchild;};void CreateTree(BitNode* &T)//这里传递的只能是指针,在这里如果不加上&的话，会出问题的，递归到最后回来的{//会是T=NULL这个地方还需要不断理解int a;cin>>a;if(a==8)//为空子树,这里定义{T=NULL;return;}T=new BitNode;//这个就是必须用到指针的地方，而且只能是前序遍历，没有树根，哪里来的子树T->data=a;//记得将左右孩子初始化+()CreateTree(T->lchild);CreateTree(T->rchild);}void PreOrderTraverse(BitNode *T){if(T){cout<<T->data;PreOrderTraverse(T->lchild);PreOrderTraverse(T->rchild);}}void InOrderTraverse(BitNode *T){if(T){InOrderTraverse(T->lchild);cout<<T->data;InOrderTraverse(T->rchild);}}void PostOrderTraverse(BitNode *T){if(T){PostOrderTraverse(T->lchild);PostOrderTraverse(T->rchild);cout<<T->data;}}void DeleteTree(BitNode *T)//只能用后序遍历{if(T){if(T->lchild)DeleteTree(T->lchild);if(T->rchild)DeleteTree(T->rchild);cout<<T->data;delete T;}}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){BitNode *T=NULL;CreateTree(T);PreOrderTraverse(T);cout<<'\n';InOrderTraverse(T);cout<<'\n';PostOrderTraverse(T);cout<<'\n';DeleteTree(T); return 0;}

输出：

0 1 8 8 2 3 8 8 8
0123
1032
1320
1320请按任意键继续. . .

总结：

（1）当形参需要new来返回的时候，用指针，而且用引用指针，如 int* &a;  否则会出问题，，也就是说指针指向的内容也需要绑定？？值得研究？？

理解为：传递指针，形参执行构造函数，然而只有用引用时，才能改变原来指针的内容，故为指针 引用。

（2）树的建立只能用前序建立法，因为只有当根创建了，子树才能建立

（3）树的删除必须用后序遍历，只有子树删除了，根才能够删除

（4）示例化对象时，最好调用默认构造函数进行初始化，当使用new的时候会调用系统默认构造函数帮你进行初始化，这就是使用new的一个好处。

（5）也就是说，new能够动态分配内存，还能够调用系统默认构造函数进行初始化，只需要加上()即可。

（6）传递指针的时候，要初始化指针，因为执行复制构造函数。

 

1.1、前序、中序、后序遍历的非递归实现

（1）前序的非递归实现，利用一个堆栈，每一次处理，打印本节点，将右孩子压入堆栈，指针指向左节点，循环while

（2）中序遍历的非递归实现，每一次处理，先压入右节点，再压入本节点（标记处理过），指向左孩子，while循环，直到左边遍历完毕

循环出来之后，while循环不断出堆栈，若出来的点已经被访问过，则打印该点，否则，就是原来的右节点，出栈，调用上面的函数。感觉需要跳转的样子。

解决办法：同样只要存储自己，出栈的时候只需要将右节点做处理即可。也就是判断若有右孩子，则跳出，进入do while 

（3）后序遍历需要压入的同样有两个，先压入自己（处理过），再压入右节点，指向左节点

解决办法：书上的方法是，利用在两个循环外面做一个do while  实现跳转，中间用 flag标志来控制。  另外 不需要压入两个点，只需要压入自己就可以了。判断若上一个处理的点（用p缓存）是自己的右孩子，或者是空的，那么就可以出栈了。

 

2、统计树节点的个数

int CountNum(BitNode* T){if(T){return( CountNum(T->lchild)+CountNum(T->rchild)+1);}elsereturn 0;}

思想：

（1）cvte笔试的时候没有做出来，其实是非常简单的，所以还是要多练习

（2）要想求子节点的个数，对于一个小堆，就是返回本生以及做孩子下面的节点树，以及右孩子下面的节点树。

（3）递归主体 返回左孩子+右孩子的+本身（1）

（4）递归出口 若本身为空，返回(0)