进制与编码

数字系统采用二进制

必然性

特点

数位存储的有限性

用二进制编码表示数字

用二进制编码表示数字，即一个数字的表示的问题。这本身就是一个设计的过程，有一定的自由度。（都用）

设计原则（目标）

1. 包含负数，编码与数字一一对应
2. 连续
3. 便于运算
   最关键的是第三点，连续即可以理解为能很自然地过渡到下一个数字。

设计限制

1.数位的有限性
2.习惯方式：0000表示0，0001表示1

设计示例：补码（2’s complement），反码（1s’ complement）及其他

观点：补码比反码更自然。

• 习惯思路：正数取反得相应负数的反码，正数取反+1得相应负数的补码。实际上，这是操作的思路，并不是一个自然的设计思路。
• 另一种思路：从正数0~2^n-1到包含负数，如何确立负数与原正数的一一对应关系——平移。可以用两种方法思考：圆和线段

• 圆：数位的有限性决定了任何一种编码都是有一定的表示范围的，这在取模的意义上得到了循环。1111后重新回到0000

• 线段

• 怎样平移决定了怎样的对应关系。补码的平移方式决定的对应关系是y=x+2n（而不是通常所说的y=2n−|x|），反码的平移方式决定的对应关系是y=x+(2n−1）（而不是通常所说的y=(2n−1)−|x|）
• 只有不溢出，补码的运算完全和无符号数相同。只要证明[x+y]=[x]+[y]
• 其他设计示例：1001~1000，从-7到8，同样完美，唯一看起来不舒服的一点就是代表8的1000最高位是1

反码的循环进位

反码的不自然不彻底的平移决定了它蹩脚的运算。不彻底的平移导致了0有两种表示，进而导致出现两个BUG，

1. 1110+0001=1111（-1+1=0），1110+0010=0000（-1+2=0）
2. 1110+1111=1101（-1+0=-2），1110+1110=1100（-1+-1=-3）

这两个BUG分别代表了循环进位的两种情形：x<0且y<0；x<0,y>0,|x|<|y|
可以分类讨论严格证明循环进位。
如果我们承认反码的次要性，我们根本无需研究反码，根本不用关心反码的运算和所谓的循环进位。

溢出

• 无论何种编码方式，溢出的概念都是相同的，而且很简单。因为存储数位有限的限制，编码有各自的表示范围，a

减法

我们不研究减法，因为所有的减法可以归结为加法（加相反数），但是对于补码来说，存在一个BUG，即减-8。-8的补码仍然是-8