阶乘数最右边一个非零数字：通用解法

　　做题时发现了一个奇怪的问题：给出正整数n（可能有前导0），请求出n!最右非零的数位的值。那么这道题肿么做呢？？？

　　USACO中有一道类似的题目，不过数据范围要小很多。。。n只有106，直接一个爆搞取模 1000000 即可但是这道题中数据范围有10100，暴力的话。。。估计没有那么几个世纪是运行不出来的。。。考试的时候也没有想出什么好的方法，就暴力（暴力大法好）搞了10分。。

　　然后考试后，根据lyc大爷的博客 http://luoyuchu.logdown.com/posts/257468-oi-seeking-n-the-right-of-non-zero-numbers 写出了一份代码，但是又发现owaski大爷有一种更好的算法，于是继续学习

　　PS：其实这种算法应该说是一种数学做法，是别人从数竞书上看到的。。。

　　首先我们知道一点，因为1到n中2的因子一定比5的因子多，所以求 n! 的末尾0的个数的做法就是找1到n中有多少个5的因子，也就是说

Tn=[n5]+[n25]+[n125]+[n625]+[n3125]+[n15625]+⋅⋅⋅

　　有一些奇怪的方法得知，这个最右非零的数位上的数一定是一个偶数，也就是2,4,6,8中的一个。

　　设n=5k+t，n!最右非零的数位的值为f(n)，因为有以下式子：

(5k)!
=(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]∗(5∗10∗15∗20∗...∗5k)
=(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]∗5k∗k!
=12k∗(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]∗10k∗k!

　　也就是说，f(n)为12k∗(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]∗k!∗t!的最后一位。

　　我们忽略k!和t!继续化简，可以得到：

12k∗(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]
≡12k∗6k∗(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)](mod　5)
=3k∗(1∗2∗3∗4)∗(6∗7∗8∗9)∗...∗[(5k−4)∗(5k−3)∗(5k−2)∗(5k−1)]
≡3k∗(1∗2∗3∗4)k(mod　5)
=72k
≡2k(mod　5)

　　很明显答案一定是偶数，所以如果f(n)mod5为奇数的话f(n)mod10=f(n)mod5+5，而f(n)mod5为偶数的话f(n)mod10=f(n)mod5，对于k!我们可以进行同样的操作，直到此数小于5为止。

　　下面进行一个模拟操作，我们拿104做例子

bu　yao　wen　wo　wei　shen　me　shi　104
zhe　zhi　shi　yi　ge　sui　ji　shu　er　yi...
104!
≡220∗20!∗4!(mod　5)
≡220∗24∗4!∗4!(mod　5)
≡6∗6∗4∗4(mod　5)
≡6(mod　10)

　　经过暴力程序的验证，这个答案是正确的，在经过各种对拍，可以确定这就是正解！！！

　　下面不附上代码。。。因为长得丑。。。233