（转）如何分析分治型算法性能

主定理 Master Method ：在《算法导论》被提出

假设有递推关系式

T(n)=aT(nb)+f(n)，其中 a≥1, b>1
其中，n为问题规模，a为递推的子问题数量，n/b为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），f(n)为递推以外进行的计算工作:包含问题分解和子问题解合并的代价

情形一

如果存在常数ϵ>0，有f(n)=O(nlogb(a)−ϵ)，并且是多项式的小于
那么

T(n)=Θ(nlogba)

情形二

如果存在常数k≥0，有f(n)=Θ(nlogbalogkn), 那么

T(n)=Θ(nlogbalogk+1n)

情形三

如果存在常数ϵ>0，有f(n)=Ω(nlogb(a)+ϵ)，并且是多项式的大于, 同时存在常数c<1以及充分大的n，满足af(nb)≤cf(n), 即保证下一层比上一层小， 那么

T(n)=Θ(f(n))

常用算法中的应用

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——算法 ———– 递推关系式——-

• 折半搜索– T(n)=T(n2)+Θ(1)−−运算时间:Θ(log(n))−−情形二（k=0）
• 二叉树遍历– T(n)=2T(n2)+Θ(1)−−运算时间:Θ(n)−−情形一

• 归并排序– T(n)=2T(n2)+Θ(n)−−运算时间:Θ(nlog(n))−−情形二（k=0）
  sol: f(n)=θ(n)=θ(nlog22log0n),T(n)=nlog22log1n=nlog(n)

  参考资料

  1 主定理-维基百科 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%AE%9A%E7%90%86