SDOI2008 仪仗队

题目描述 Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

 

 

输入描述 Input Description

　　共一个数N。

输出描述 Output Description

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

样例输入 Sample Input

4

样例输出 Sample Output

9

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于 30% 的数据，1≤N≤1000

对于 100% 的数据，1≤N≤40000

 

 

　　一开始这个题目在CODEVS上的样例输出是错的，让我想了半天，直到佣神帮我把数据改过来。

　　我们可以把最左下角当作（0，0），然后最右上角自然就是（N-1, N-1)，想一想就会发现，如果一个点（X,Y）可以被观测到，那么（KX, KY）就无法被观察到，因为从左下角看过去，这两个点在同一条直线上。

　　还有一点很容易证明的是，这张图沿着左下-右上这条对角线分开，两部分是对称的，一个比较需要注意的是（1，1）并不属于其中任何一部分，而是在对角线上。

　　把其中一部分删去后，我们就得到了一个三角形，根据前边标红的性质，对于第N行，我们只需要求出小于等于N且和N互质的正数有多少个就好，这时候我们就可以用到欧拉函数来求解。

　　把小于等于N且和N互质的数的个数设为phi（N),比如phi(8) = 4，因为1，3，5，7和8互质。

　　phi（x） = x* (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) ... * (1 - 1/pn)

　　其中的p1到pn分别为x的n个质因数，需要注意的是，每个质因数只被计算一遍，比如12=2*2*3  phi（12） = 12*(1/2)*(2/3) = 4。

　　求出phi（2）到phi（n - 1）的和并乘二之后，我们需要特别处理第零列和第零行上的两个点和（1，1）这个点，也就是加上3（第零行和第零列的点可以不特殊处理而是将phi（0）设为1）。

 

代码如下（求不吐槽风格）

 1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3  4 int ans, n, a[40001]; 5  6 int main() { 7     cin >> n; 8     n = n - 1; 9     for (int i = 1; i <= n; i++)10         a[i] = i;        //PHI(I)11     for (int i = 2; i <= n; i++)      //筛法求phi（i）12         if (a[i] == i) {13             int p = 1;14             while (p * i <= n) {15                 a[p * i] = a[p * i] / i * (i - 1);16                 p++;17             }18         }19     for (int i = 1; i <= n; i++)20         ans += a[i];21     ans = ans * 2 + 1;   //(1,1)被计算两次,(0,1)(1,0)没被计算。 22     cout << ans;23     return 0;24 }