N皇后-回溯-位运算解法

N皇后问题是比较经典的算法问题。题目意思这里不在介绍，下面介绍两种回溯解法。

解法一：

由于我们固定每个皇后占据一行，所以简化问题为从第一行的皇后开始，为每行的皇后找到合适的列放置。

所以我们要三个数组表示每一列，正斜线以及反斜线上能否放置。

#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 20;  bool a[MAX+1] ; //列上是否有皇后，为false则有皇后，不能放置。bool b[2*MAX + 1] ;//行和列之和相等的斜线bool c[2*MAX + 1]; //航和列之差相等的斜线int sum = 0;  //解法总数int n ;  //皇后的个数int x[MAX + 1]={0}; //每个皇后放置的列数，只求解法总数的时候可以不要void NQueen(int i){for(int j = 1;j<=n;j++){if(a[j] && b[i+j] && c[i-j+n]) //找到可以放置皇后的列{x[i] = j;a[j] = false;    //一个皇后放好，相应的列不能放置，设为false；b[i+j] = false;c[i-j+n] = false;  //i-j有可能为负，都要加上nif(i == n)     //表示n个皇后都放好了，这是一种成功的放置方法sum++;elseNQueen(i+1);     //用递归调用，自然回溯 a[j] = true;b[i+j] = true;c[i-j+n] = true;}}}int main(){cin >> n;for(int i = 0;i<=n;i++)a[i] = true;for(int i = 0;i<=2*n;i++){b[i] = true;c[i] = true;}NQueen(1);   //从第一行的皇后开始cout << sum << endl;return 0;}

在网上找解法的时候，看到有大神说用位运算代替上面a，b，c三个数组表示列的可用性，算法的效率会提高很多。

算法思想：使用bit数组来代替以前由int或者bool数组来存储当前格子被占用或者说可用信息，从这可以看出N个皇后对应需要N位表示。
以前我们需要在一个N*N正方形的网格中挪动皇后来进行试探回溯，每走一步都要观察和记录一个格子前后左右对角线上格子的信息；采用bit位进行信息存储的话，就可以只在一行格子也就是（1行×N列）个格子中进行试探回溯即可，对角线上的限制被化归为列上的限制。

代码如下：

<pre name="code" class="cpp">#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>long sum = 0, upperlim = 1;   // sum用来记录排列总数，upperlim用来作bit mark。                              // 有多少个皇后，就有多少bit被置1。（从低位到高位）// 放置顺序是从右边列开始的。void test(long row, long ld, long rd) / row记录了列的放置信息。bit为1时代表已经放置了皇后。// ld记录了上一个皇后的左边1列不能放置皇后。//rd记录了左边1列不能放置皇后。// 如：上一次放的是第6列: 则// row  ****  ****  **1*  ****// ld   ****  ****  *1**  *****// rd   ****  ****  ***1  ****{if (row != upperlim){long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);  // 将row，ld，rd同时为0的bit提出来。while (pos){long p = pos & -pos; // 将pos除最低的为1的bit外，所有的位清零后赋值给p                           // pos不改变。（取得可以放皇后的最右边的列）pos -= p;  // 将pos的最低的为1的bit清零。（次右边的列，为循环做准备）test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);  // row + p将当前列置1，表示放上了皇后                                             // (ld + p) << 1。设置左边列不能放。}}else         // row的每一位为1，即所有皇后都放好了。sum++;}int main(int argc, char *argv[]){int n;scanf("%d",&n);time_t tm;tm = time(0);if ((n < 1) || (n > 32)){printf(" 只能计算1-32之间\n");exit(-1);}upperlim = (upperlim << n) - 1;test(0, 0, 0);printf("共有%ld种排列, 计算时间%d毫秒 \n", sum, (int) (time(0) - tm)*1000);return 0;}

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