万能算术运算
来源:互联网 发布:淘宝睡衣评价50字好评 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 10:53
万能算术运算
在《仅用减法及倒数运算实现所有算术运算》一文中我们给出了仅仅利用减法及倒数运算实现加、乘、除等所有算术运算的方法,本文中我们进一步设计一种唯一的二元运算,由其可以导出所有加减乘除运算。
定义二元运算x#y如下:
x#y=(xy-x+y)/xy (1)
或者等价地有
x#y=1+1/x-1/y (2)
二元运算#的定义域为x,y!=0,响应的程序为:
sharp(x,y)
{
assert(x!=0 && y != 0);
return (x*y-x+y)/(x*y);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由#运算易于生成倒数运算:
x#1=1/x
另外,由于
-1#x=-1/x
从而
-x=-1#1/x
由此我们得到计算倒数及负运算的程序:
recip(x)
{
assert(x != 0);
return sharp(x,1);
}
neg(x)
{
if (x == 0) return 0;
t=recip(x);
return sharp(-1,t);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由于
1/x#1/y=1+x-y
从而
x-y=1/x#1/y-1
因此,要定义减法运算,必须首先定义-1运算。
在(2)中取y=1/2可得:
x#1/2=1/x-1
从而
x-1=1/x#1/2
注意到减法的定义域为全体数,而倒数运算中变量值不能为0,因此,对于两个运算数为0的情况需要特别处理,同样的,对于-1运算,也存在这种处理需要。
由此我们得到减法运算程序如下:
sub(x,y)
{
if (x==0) return neg(y);
if (y==0) return x;
t1=recip(x);
t2=recip(y);
t3=sharp(t1,t2);
return sub1(t3);
}
sub1(x)
{
if (x==0) return -1;
t=recip(x);
return sharp(t,1/2);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由于我们定义了负操作neg,因此加法操作更简单:
x+y=x-(-y)
相应的程序如下:
add(x,y)
{
t=neg(y);
return sub(x,t);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
下面我们推到乘法操作
由于
x#(x+1)=1+1/x-1/(1+x)=1+1/x(x+1)
从而
x(x+1)=1/[x#(x+1)-1]
x*x=1/[x#(x+1)-1]-x
同理
y*y=1/[y#(y+1)-1]-y
(x+y)*(x+y)=1/[(x+y)#(x+y+1)-1]-(x+y)
从而
2*x*y=(x+y)*(x+y)-x*x-y*y
又由于
1/x*y=1/2*x*y+1/2*x*y
从而我们可以导出乘法操作
x*y=1/(1/2*x*y+1/2*x*y)
注意到在上面的求平方运算中x!=0,1,因此,对于这两个数的平方运算需要特殊处理,同样,在求乘法的运算中,x,y均不能等于0,因此,这两种特殊情况也需要处理。
下面是计算平方及乘法的程序:
sqr(x)
{
if (x==0) return 0;
if (x==-1) return 1;
t1 = add(x,1);
t2 = sharp(x,t1);
t3= sub1(t2);
t4 = recip(t3);
return sub(t4,x);
}
mul(x,y)
{
if (x==0 || y==0) return 0;
t1=add(x,y);
t2=sqr(t1);
t3=sqr(x);
t4=sqr(y);
t5=sub(t2,t3);
t6=sub(t5,t4);
t7=recip(t6);
t8=add(t7,t7);
return recip(t8);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
除法的推导:由
x/y=x*(1/y)
可得除法的计算程序,注意被除数y!=0。
div(x,y)
{
assert(y!=0);
t=recip(y);
return mul(x,t);
}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
进一步考虑
x#y=1/x-1/y
以及
x#y=(xy-y+1)/xy
是否万能运算。
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