信息论

基本概念

熵

如果X是一个离散随机变量，取值空间为R, 其概率分布为p(x)=p(X=x),x∈R，那么X的熵H(x)定义为

H(x)=−∑p(x)log2p(x)

其中约定0log0=0，对数以2为底的熵的单位为二进制位比特。

联合熵

如果X,Y是一对随机变量，X,Y ~ p(x,y), X,Y的联合熵H(X, Y)定义为：

H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Yp(x,y)logp(x,y)

在给定随机变量X的情况下， Y的条件熵H(Y|X)定义为：

H(Y|X)=∑x∈Xp(x)H(Y|X=x)=∑x∈Xp(x)[−∑y∈YP(y|x)logp(y|x)]=−∑x∈X∑y∈Yp(x,y)logp(y|x)

互信息

根据熵的连锁规则，有

H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y)

因此，

H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)

这个差被称为互信息。记做I(X,Y)， 它反应了在知道了Y之后，X的不确定性的减少量。展开之后，我们可以得到：

I(X,Y)=∑x,yp(x,y)logp(x,y)p(x)p(y)